Matemàtiques / Mathematics

Índex

General

Història / History

Programari / Software

Càlcul / Calculus
  • The three central problems of calculus
    • The forward problem: given a curve, fins its slope everywhere
    • The backward problem: given a curve's slope everywhere, find the curve
    • The area problem: given a curve, find the area under it

Arrels / Roots

\sqrt[n]{x} = \cos{\left( k \frac{2\pi}{n} \right)} + i \sin{\left( k \frac{2\pi}{n} \right)}

x=2^n x=4
n=2
Arrels 2-èsimes de 4
\sqrt[2]{4}
Arrels 2-èsimes de 4
\sqrt[2]{4}
n=3
Arrels 3-èsimes de 8
\sqrt[3]{8}

Potències de les arrels cúbiques de 8 (svg)
Arrels 3-èsimes de 4
\sqrt[3]{4}
n=4
Arrels 4-èsimes de 16
\sqrt[4]{16}
Arrels 4-èsimes de 4
\sqrt[4]{4}
n=5
Arrels 5-èsimes de 32
\sqrt[5]{32}
Arrels 5-èsimes de 4
\sqrt[5]{4}
...

n \to \infty \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{x} = 1
Arrels inf-èsimes de 4
\sqrt[\infty]{4}

Exponencial i logaritme
...

exp
 log
 demostració aplicació
multiplicació a^b a^c = a^{b+c} \log_a(m·n) = \log_a(m) + \log_a(n) m = a^b \log_a(m) = b n = a^c \log_a(n) = c \log_a(m·n) = \log_a(a^b·a^c) = \log_a(a^{b+c}) = b + c = \log_a(m) + \log_a(n)
exponenciació (a^b)^c = a^{bc} \log_a(m^n) = n·\log_a(m)
\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^n = a^{\frac{1}{n}n} = a ^1 = a \;\Rightarrow\; \boxed{ a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} }





...

 limit
E_n(x) = \left(1+\frac{x}{n}\right)^n \mathrm e^x = \lim_{n \to \infty} E_n(x) = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n \ln{(x)} = \ln{(x)} + i 2\pik \quad \Rightarrow \quad \boxed{\mathrm e^x = \mathrm e^x \mathrm e^{i2\pi k}}
\begin{aligned} E_n(y) &= \left( 1 + \frac{y}{n}\right)^n = x \\ L_n(x) &= y = n \left( \sqrt[n]{x} - 1 \right) \end{aligned} \ln{(x)} = \lim_{n \to \infty} L_n(x) = \lim_{n \to \infty} n \left( \sqrt[n]{x} - 1 \right) \left. \begin{array}{r} \ln{(x)} = \lim_{n \to \infty} n \left( \sqrt[n]{x} - 1 \right) \\ \href{#arrels}{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[n]{x} \; \cos{\left(k \frac{2\pi}{n}\right)} + i \sqrt[n]{x} \; \sin{\left(k \frac{2\pi}{n}\right)} \end{array} \right\} \quad \ln{(x)} = \lim_{n \to \infty} n \left[ \sqrt[n]{x} \cos{\left(k \frac{2\pi}{n}\right)} - 1 + i \sqrt[n]{x} \; \sin{\left(k \frac{2\pi}{n}\right)} \right] = \left\{ \begin{array}{l} \left. \begin{array}{r} \Re : \quad \lim_{n \to \infty} n \left( \sqrt[n]{x} \cos{\left( \frac{2\pi k}{n} \right)} - 1\right) \\ \lim_{n \to \infty} \cos{\left( \frac{2\pi k}{n} \right)} = 1 \end{array} \right\} = \lim_{n \to \infty} n \left( \sqrt[n]{x} - 1\right) \triangleq \ln{(x)} \\ \left. \begin{array}{r} \Im : \quad \lim_{n \to \infty} n \sqrt[n]{x} \sin{\left( \frac{2\pi k}{n} \right)} \\ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{x} = 1 \end{array} \right\} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sin{ \left(\frac{2\pi k}{n}\right) }}{\frac{1}{n}} \stackrel{\text{(H)}}{=} \lim_{n \to \infty} \frac{ \cos{\left( \frac{2\pik}{n} \right)} \left(\frac{-2\pik}{n^2}\right) }{-\frac{1}{n^2}} = 2\pik \lim_{n \to \infty} \cos{\left( \frac{2\pik}{n} \right)} = 2\pik \end{array} \right\} \Rightarrow \boxed{ \ln{(x)} = \ln{(x)} + i 2\pik }

Trigonometria / Trigonometry
Teorema del sinus (wp) \frac{a}{\sin \hat{A}}=\frac{b}{\sin \hat{B}}=\frac{c}{\sin \hat{C}}
Teorema del cosinus (wp) a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\, \cos \hat{A} b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\, \cos \hat{B} c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\, \cos \hat{C}

Derivades / Derivatives
  • Derivades de funcions elementals:
    funció f(x) derivada f'(x) demostració
    k 0
    kx k
    x^{n} nx^{n-1}
    a^x a^x · \ln{a}
    e^x e^x
    \log_{a}x \frac{1}{x · \ln{a}}
    \ln{x} \frac{1}{x}
    \sin{x} \cos{x}
    \cos{x} -\sin{x}
    \tan{x} \frac{1}{\cos^2{x}}
    \arcsin{x} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
    \arccos{x} \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}
    \arctan{x} \frac{1}{1+x^2}
  • Propietats:


    		derivada
    suma f(x) + g(x) f'(x) + g'(x)
    producte f(x) · g(x) f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)
    divisió \frac{f(x)}{g(x)} \frac{f'(x)·g(x) - f(x)·g'(x)}{g^2(x)}
    regla de la cadena f(x) \circ g(x) = f(g(x)) f'(g(x)) · g'(x)
    ...

  • ...

Derivades parcials / Partial derivatives
  • Càlcul vectorial (wp)
  • Divergence and curl: the language of Maxwell's equations, fluid flow, and more (3blue1brown)
  • des de: operador nabla: \nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) a: expressa: exemples
    camp escalar gradient: \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) camp vectorial direcció i magnitud de la màxima variació en un punt
    camp vectorial divergència / divergence: \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} camp escalar flux net d'entrada (<0) i sortida (>0) donada una regió Maxwell: \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} \nabla \cdot \mathbf{B} = 0
    camp vectorial rotacional / curl:\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix} camp vectorial efecte de rotació en un punt (com si hi hagués un molinet), provocat pel camp vectorial Maxwell: \nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \left(\mathbf{J} + \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right)

    		operador laplacià (divergència del gradient): \Delta = \nabla \cdot \nabla


    camp escalar \Delta f = (\nabla \cdot \nabla) f = \nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}

  • ...

Transformades / Transforms

Matrius

  		• interpretació geomètrica càlcul matemàtic càlcul computacional info
    matriu  que multiplica un vector transformació lineal del vector cap a un nou vector

    producte de matrius composició de transformacions


    determinant d'una matriu com queda afectada l'àrea (2D) o el volum (3D) un cop aplicada la transformació


    rang d'una matriu dimensió de l'espai de sortida


  • ...

Vectors
  • Producte:


    		resultat exemples i aplicacions
    producte d'un vector per un escalar k \vec{A} un vector amb la mateixa direcció i mòdul multiplicat per k
    producte escalar / dot product \vec{A}\cdot\vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos{\theta} = a_x b_x + a_y b_y un escalar:
    • si és 0: els vectors són perpendiculars
    • si és 1: p.ex. el producte escalar d'un vector unitari per ell mateix
    • angle que formen dos vectors:\cos{\theta} = \frac{a_x b_x + a_y b_y}{|\vec{A}||\vec{B}|}
    • treball: W = \vec{F} \cdot \Delta \vec{r} = \int_{\vec{r_a}}^{\vec{r_b}} \vec{F} \cdot d\vec{r}
    • flux d'un camp magnètic
    producte vectorial / cross product \vec{A}\times\vec{B} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix} un altre vector, ortogonal a tots dos vectors
    • direcció segons la regla de la mà dreta, amb els dits des d'A cap a B
    • mòdul (àrea del paral·lelogram) |\vec{A} \times \vec{B}| = |\vec{A}| |\vec{B}| \sin{\alpha}

Equacions diferencials / Differential equations

http://www.francescpinyol.cat/matematiques.html
Primera versió: / First version: 27.XI.2021
Darrera modificació: 15 d'agost de 2023 / Last update: 15th August 2023

Valid HTML 4.01!

Cap a casa / Back home.