Física

Índex

General

  • Mecànica
    • Tipus
      • clàssica:
      • quàntica:
        • De Broglie
          • Dualitat ona / partícula: qualsevol partícula en moviment té una ona associada, la longitud d'ona de la qual està relacionada amb la massa i la velocitat de la partícula
        • Heisenberg
          • Principi d'incertesa: és impossible conèixer simultàniament i amb exactitud la quantitat de moviment i la posició d'una partícula; o bé l'energia mesurada durant un període de temps
            • \Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}
            • \Delta E \cdot \Delta t \ge \frac{h}{4\pi}
          • Helgoland
        • Schrödinger
          • Equació d'ona d'una partícula (electró) (1926)
            • les solucions depenen de tres nombres enters: nombres quàntics
            • densitat de probabilitat
      • relativista:
    • Aplicació:
      v (m/s)









      10⁸









      10⁶









      10⁴









      10²









      0 10^{-14} 10^{-10} 10^{-6} 10^{-2} 10^2 10^6 10^10 10^14 10^18 d (m)

Cinemàtica (moviment)



vectorial rectilini vectorial
circular
posició posició \vec{r}(m)\vec{r}(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j} posició x (m)
components:
  • component x: x = x_0 + v_{0x}t + \frac{1}{2}a_xt^2
  • component y: y = y_0 + v_{0y}t + \frac{1}{2}a_yt^2

angle \varphi (rad): \varphi = \varphi_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2 arc s (m): s = \varphi R s = s_0 + v_0 t + \frac{1}{2}a_t t^2
velocitat velocitat \vec{v} (m/s)
\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} vector:
  • mòdul (celeritat)
  • direcció: la del moviment
velocitat lineal v (m/s): v_x = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{dx}{dt} v_x = v_{0x} + at velocitat angular \vec{\omega} (rad/s)
vector:
  • mòdul: \omega = \frac{d\varphi}{dt}
  • direcció: perpendicular al pla de gir
velocitat angular \omega (rad/s)\omega = \frac{\Delta \varphi}{\Delta t} = \frac{d\varphi}{dt} \omega = \omega_0 + \alpha t \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f velocitat lineal v (m/s): v = \omega R
acceleració acceleració \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}\vec{a} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} components:\vec{a} = \vec{a_t} + \vec{a_n}
  • tangencial (canvi de mòdul):
    mateixa direcció que la velocitat, amb mòdula_t = \frac{dv}{dt}
  • normal (canvi de direcció):
    perpendicular a la velocitat, cap al centre, amb mòdula_n = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R
acceleració tangencial a (m/s²): a = \frac{\Delta v}{\Delta t} acceleració angular \vec{\alpha} (rad/s²)
vector:
  • mòdul:\alpha = \frac{d\omega}{dt}
  • direcció: perpendicular al pla de gir
acceleració angular \alpha (rad/s²)
\alpha = \frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \frac{d\omega}{dt}
acceleració tangencial (canvi de mòdul) i
acceleració normal (canvi de direcció): \begin{cases} a_t = \alpha R \\ a_n = \frac{v^2}{R}=\omega^2 R \end{cases}
  • Moviment combinat (p.ex., en tir parabòlic: a = -g):
    velocitat inicial \left\{ \begin{array}{r} v_{0x} = v_0 \cos{\alpha} \\ v_{0y} = v_0 \sin{\alpha} \end{array} \right.
    posició \left. \begin{array}{r} x = x_0 + v_0 \cos(\alpha) t \\ y = y_0 + v_0 \sin(\alpha) t + \frac{1}{2}at^2 \end{array} \right\} y = y_0 + (x - x_0) \tan(\alpha) + \frac{a (x-x_0)^2}{2v_0^2 \cos^2(\alpha)}
    abast horitzontal màxim:
    x quan y=0

    alçada màxima:
    y quan t fa que v_y = 0
    v_y = v_{0y} + a t
  • Acceleració normal:
    Acceleració normal
    Acceleració normal
    \frac{\Delta r}{r} =\frac{\Delta v}{v} \frac{\Delta r}{r \Delta t} =\frac{\Delta v}{v \Delta t} \frac{v \Delta r}{r \Delta t} =\frac{\Delta v}{\Delta t} \frac{v^2}{r} = a_n

Dinàmica (forces)

  • Lleis de Newton:

    • Acceleració: \vec{a} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} Quantitat de moviment o moment lineal / Momentum: \vec{p} = m \vec{v} Impuls [N·s]: \vec{I} = \vec{F} \Delta t = \int_{t_0}^{t} \vec{F} dt
      Primera: principi d'inèrcia \sum_{i} \vec{F}_{i} = 0 \leftrightarrow \vec{a} = 0 \leftrightarrow \vec{v} = C \sum_{i} \vec{F}_{i} = 0 \leftrightarrow \Delta \vec{p} = 0 \leftrightarrow \vec{p} = C
      Segona: principi fonamental de la dinàmica \sum_{i} \vec{F}_{i} = m \vec{a} Principi fonamental de la dinàmica: \sum_{i} \vec{F}_{i} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta{t}} = \frac{d\vec{p}}{dt} Teorema de l'impuls mecànic:\vec{I} = \Delta \vec{p}
      Tercera: principi d'acció-reacció
      Principi de la conservació de la quantitat de moviment (Noether):
      si no hi ha forces externes, la quantitat de moviment total es manté constant
       \vec{p}_{T} = \sum_{i} \vec{p}_{i} = C\sum_{i} \Delta \vec{p}_{i} = 0

  • Energia i potència
    • Força [N] Treball [J]
      Potència [W]
      (1 CV = 736 W)
      Llei de Newton:\vec{F} = m \vec{a} W = \vec{F} · \Delta \vec{x} = F · \Delta x · \cos{\alpha}W = \vec{F} \cdot \Delta \vec{r} si la força no és constant (p.ex. en camps no uniformes): W = \int_{\vec{r_a}}^{\vec{r_b}} \vec{F} \cdot d\vec{r}(àrea sota la funció força, delimitada pels punts a i b) P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = \frac{dW}{dt}P = \Gamma \href{#velocitat_angular}{\omega}(\Gamma: parell motor; \omega: velocitat angular)

      Teorema del treball i l'energia:W = \Delta E_c W_{\text{sistema}} = - \Delta E_p W_{\text{exterior}} = \Delta E_p


      Energia (J)
      capacitat d'un cos de realitzar un treball

      \vec{F} = m \vec{a} Energia cinètica:E_c = \frac{1}{2} m v^2 Energia mecànica:E_m = E_c + E_p

      Força gravitatòria:\vec{F} = m \vec{g} Energia potencial gravitatòria:E_{pg} = mgh
      Llei de Hooke:\vec{F} = k \vec{\Delta x} Energia potencial elàstica:E_{pe} = \frac{1}{2} k (\Delta x)^2

      Energia potencial elèctrica
      Força de fregament estàtic: F_{fe} =\mu_e N Força de fregament dinàmic: F_{fd} =\mu_d N



      E =m c^2 Energia cinètica relativista: E_c = m c^2 - m_0 c^2 m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}

    • Energia cinètica: treball necessari perquè el cos adquireixi una velocitat constant a partir del repòs \left. \begin{array}{r} E_c = W = F·\Delta x · \cos(\alpha) \\ F = m a \\ \Delta x = \frac{1}{2} a (\Delta t)^2 \end{array} \right\} \Rightarrow \quad E_c = m a · \frac{1}{2} a (\Delta t)^2 = \frac{1}{2} m (a \Delta t)^2 = \frac{1}{2} m v^2
  • Conservació de l'energia (Noether)
    • ...
      camp conservatiu
      el treball realitzat per les forces d'un camp conservatiu
      només depèn de les posicions inicial i final: W_{\text{cicle}} = \oint \vec{F} \cdot d\vec{r} = 0
      Conservació de l'energia mecànica per a forces conservatives: \left . \begin{aligned} W &= \Delta E_c \\ W &= - \Delta E_p \end{aligned} \right\} \Rightarrow \quad \Delta E_c = - \Delta E_p \quad \Rightarrow \quad \Delta E_c + \Delta E_p = 0 L'energia mecànica es manté constant: \boxed{\Delta E = 0}
      Força gravitatòria: \left. \begin{aligned} E_p &= mgh \\ E_c &= \frac{1}{2} m v^2 \end{aligned} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} v_f &= \sqrt{2gh} \\ h_0 &= \frac{v_f^2}{2g} \end{aligned} \right.
      Força elàstica: \left. \begin{aligned} E_p &= \frac{1}{2} k x^2\\ E_c &= \frac{1}{2} m v^2 \end{aligned} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} v &= x \sqrt{\frac{k}{m}} \\ x &= v \sqrt{\frac{m}{k}} \end{aligned} \right.
      camp no conservatiu
      Variació de l'energia mecànica quan actuen forces no conservatives \left . \begin{aligned} W &= \Delta E_c \\ W &= - \Delta E_p + W_{fnc} \end{aligned} \right\} \Rightarrow \quad \Delta E_c = - \Delta E_p + W_{fnc} \quad \Rightarrow \quad \Delta E_c + \Delta E_p = W_{fnc} El treball realitzat per forces no conservatives és igual a la variació de l'energia mecànica: \boxed{\Delta E = W_{fnc}} Termodinàmica:
      • principi zero Q = c·m·\Delta T
      • primer principi: \Delta U = Q - W
      • segon principi
      • tercer principi

      Força de fregament

      Força externa
  • Xocs
    • Principi de la conservació de la quantitat de moviment
    • ...

      situació dels cossos
      després del xoc
      coeficient de restitució: k = \frac{-(v_1' - v_2')}{v_1 - v_2} quantitat de moviment: p = m \vec{v} energia cinètica exemples
      xoc elàstic:
      els cossos només es deformen durant la interacció
      lliures k = 1 es conserva: m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{v_2} = m_1 \vec{v_1'} + m_2 \vec{v_2'} m_1 (\vec{v_1} - \vec{v_1'}) = m_2 (\vec{v_2'} - \vec{v_2}) es conserva: \frac{1}{2} m_1 \vec{v_1}^2 + \frac{1}{2} m_2 \vec{v_2}^2 = \frac{1}{2} m_1 \vec{v_1'}^{2} + \frac{1}{2} m_2 \vec{v_2'}^{2} m_1 (\vec{v_1}^2 - \vec{v_1'}^{2}) = m_2 (\vec{v_2'}^{2} - \vec{v_2}^2) tenint en compte la conservació de la quantitat de moviment: \boxed{\vec{v_1} + \vec{v_1'} = \vec{v_2} + \vec{v_2'}}
      • partícules elementals
      • boles rígides
      xoc inelàstic:
      una part de l'energia es perd en calor i deformació
      lliures 0 < k < 1 no es conserva
      xoc perfectament inelàstic units k = 0 no es conserva
      • projectil incrustat
      • pèndul balístic
  • Engranatges
    • U2 Mecanismes de transmissió de moviment
    • relació de transmissió mitjançant diversos engranatges de z dents:
      relació de transmissió (i: incial, f: final) velocitat angular parell motor\Gamma = F·r(N·m) potènciaP = \Gamma \omega
      i_{i\rightarrow f} = r_t = \frac{\prod_{impulsores}z_{j}}{\prod_{impulsades}z_{k}} = \frac{\omega_f}{\omega_i} =\frac{\Gamma_i}{\Gamma_f} \omega_f = \omega_i i_{i\rightarrow f} \Gamma_f = \frac{\Gamma_i}{i_{i\rightarrow f}} P_f = \eta P_i
  • ...

Camps

  • Classificació dels camps físics:
    • camp escalar



      • temperatura
      • pressió
      • densitat
      • ...
      camp vectorial velocitats
      acceleracions




      forces camp conservatiu camp uniforme:
      intensitat de camp constant (línies de camp paral·leles i equidistants)


      camp central
      (forces dirigides cap a un punt)
      newtonià
      (inversament proporcional al quadrat de la distància)
      no newtonià
      camp no conservatiu

      • magnètic
  • Camps

    • vector escalar
      camp força = magnitud · intensitat
      \vec{\text{intensitat del camp de forces}} = \frac{\vec{\text{Força}}}{\text{magnitud física de la partícula}} potencial energia potencial = magnitud · potencial
      (energia del sistema de la qual podem disposar per a fer un treball)
      gravitatori Llei de gravitació universal (Newton)\boxed{\vec{F} = -G \frac{m m'}{r^2} \vec{u}}on:
      • el signe negatiu indica que la força és sempre d'atracció
      • \vec{F}: força que actua sobre m' a causa de la massa m
      • \vec{u}: vector unitari que va de m cap a m' (oposat al sentit de la força)
      • parell d'acció-reacció: \vec{F}_{12} = - \vec{F}_{21}
      • constant de la gravitació universal: G = 6,67·10^{-11}\:\text{N·m²/kg²}
      per a la Terra:
      • M_T = 5,98·10^24\:\text{kg}
      • R_T = 6,38·10^6\:\text{m}


      Relació amb el camp gravitarori: \boxed{ \vec{F} = m \vec{g} }
      Intensitat de camp gravitatori (N/kg): \vec{g} = \frac{\vec{F}}{m'}\boxed{\vec{g} = -G \frac{m}{r^2} \vec{u}}
      A la superfície de la Terra: \vec{g}_0 = 9,8\:\text{m/s²}

      Relació entre el camp gravitatori i el potencial: \left. \begin{array}{r} \Delta E_p = -W \Rightarrow dE_p = - \vec{F} \cdot d\vec{r} \Rightarrow \frac{dE_p}{m} = - \frac{\vec{F} \cdot d\vec{r}}{m}\\ E_p = m V \Rightarrow \frac{dE_p}{m} = dV \\ \frac{\vec{F}}{m} = \vec{g} \end{array} \right\} \Rightarrow dV = - \vec{g} \cdot d\vec{r}
      en mòdul: \boxed{g = -\frac{dV}{dx}}

      La intensitat de camp gravitatori té el sentit en què el potencial disminueix. Per tant:
      • una massa lliure m' es desplaça en el mateix sentit del camp gravitatori i cap a potencials més petits (encara més negatius)
      Potencial gravitatori d'una massa puntual m en un punt A:
      treball, canviat de signe, realitzat per la força gravitatòria que efectua
      la massa m per a desplaçar una altra massa de prova d'1 kg des de l'infinit fins a A \boxed{V_A = - W_{\infty \to A}} V_{\infty} = 0 V_A = - W_{\infty \to A} = - \int_{\infty}^{r_{A}} \vec{F} \cdot d\vec{r}= - \int_{\infty}^{r_{A}} -G \frac{m·1}{r^2} \vec{u} \cdot d\vec{r} = -G \frac{m}{r_A} \boxed{V = -G \frac{m}{r}}

      Potencial gravitatori
      Potencial gravitatori generat
      per una massa m
      Energia potencial gravitatòria (sempre negativa): treball efectuat per la força gravitatòria
      per moure una massa m' des de l'infinit fins a A E_{pA} =m' V_A \boxed{E_p = -G \frac{mm'}{r}}
      Si la mateixa força gravitatòria mou una massa des d'un punt inicial (lluny) a un final (a prop), el treball, fet pel sistema, és positiu: W_{\text{sistema}} = -m' \Delta V= -m'(V_f - V_i) = - (E_{pf} - E_{pi}) = - \Delta E_p > 0
      Si unes forces externes, oposades a la força gravitatòria, han de moure una massa des d'un punt inicial (a prop) a un punt final (lluny), el treball, fet per les forces externes, és negatiu: W_{\text{forces externes}} = m' \Delta V = m'(V_f - V_i) = (E_{pf} - E_{pi}) = \Delta E_p < 0



      Wsistema Wforces_externes
      m' es desplaça en el sentit de l'atracció ΔEp<0 >0 <0
      m' es desplaça en el sentit oposat a l'atracció ΔEp>0 <0 >0

      Conservació de l'energia, per ser un camp conservatiu: \Delta E_c + \Delta E_p = 0

      Velocitat d'escapament: des de la superfície de la Terra fins a l'infinit,
      on l'energia potencial és nul·la i hi ha d'arribar amb velocitat nul·la \left. \begin{array}{r} \text{a la superfície de la Terra:}\: E = E_c + E_p\\ \text{a l'infinit:}\:E' = E_c' + E_p' = 0 + 0 = 0 \end{array} \right\} \Rightarrow \frac{1}{2} m v_0^2 - G \frac{mM_T}{R_T} = 0 \Rightarrow v_0 = \sqrt{\frac{2GM_T}{R_T}}

      Velocitat i energia mecànica d'un satèl·lit de massa m que gira al voltant d'un cos de massa M: \left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} \sum{F} = F_g = G \frac{Mm}{r^2} \\ a_t = \frac{v^2}{r} \end{array} \right\} \sum{F} = ma \Rightarrow G \frac{Mm}{r^2} = m\frac{v^2}{r} \Rightarrow \boxed{v = \sqrt{\frac{GM}{r}}} \\ E_c = \frac{1}{2}m v^2 \end{array} \right\} E_c = \frac{1}{2} G \frac{Mm}{r} \\ E_p = - G \frac{Mm}{r} \end{array} \right\} E = E_c + E_p = - \frac{1}{2} G \frac{Mm}{r}
      elèctric Llei de Coulomb: \boxed{\vec{F_e} = K \frac{QQ'}{r^2}\vec{u}} on:
      • Q és la càrrega, expressada en coulombs (C)
      • 1C és la càrrega de 6,24·1018 electrons
      • 1 electró té una càrrega de 1,602·10-19 C
      • constant elèctrica K=\frac{1}{4\pi\epsilon}, on \epsilon és la permitivitat del medi (en el buit: K=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}=9·10^9 \frac{\text{N·m²}}{\text{C²}})
      • permitivitat relativa: \epsilon_r = \frac{\epsilon}{\epsilon_0}
      • si les càrregues:
        • tenen el mateix signe, la força és repulsiva
        • tenen signe oposat, la força és atractiva


      Relació amb el camp elèctric: \boxed{ \vec{F_e} = Q \vec{E} }
      Camp elèctric entre càrregues
      Camp elèctric
      Geek3, CC BY-SA 3.0, via Wikimedia Commons

      Intensitat de camp elèctric (N/C): \vec{E} = \frac{\vec{F}}{Q'} \boxed{\vec{E} = K \frac{Q}{r^2}\vec{u}}
      Com que considerem que Q' és positiva, quan:
      • la càrrega Q és positiva, les línies del camp surten de la càrrega
      • la càrrega Q és negativa, les línies del camp entren cap a la càrrega
      Si la càrrega és no puntual i contínua:
      \vec{E} = \int K \frac{dQ}{r^2}\vec{u} = \int_{V'}K \frac{\rho dV'}{r^2}\vec{u}

      Relació entre el camp elèctric i el potencial:
      \left. \begin{array}{r} \Delta E_p = -W \Rightarrow dE_p = - \vec{F} \cdot d\vec{r} \Rightarrow \frac{dE_p}{Q} = - \frac{\vec{F} \cdot d\vec{r}}{Q}\\ E_p = Q V \Rightarrow \frac{dE_p}{Q} = dV \\ \frac{\vec{F}}{Q} = \vec{E} \end{array} \right\} \Rightarrow dV = - \vec{E} \cdot d\vec{r}
      en mòdul: \boxed{E = -\frac{dV}{dx}}
      si el camp elèctric és constant:
       E = - \frac{\Delta V}{\Delta x}
      \Delta V = -E \Delta x La intensitat de camp elèctric té el sentit en què el potencial disminueix. Per tant:
      • una càrrega positiva lliure es desplaça en el mateix sentit del camp elèctric i cap a potencials més petits
      • una càrrega negativa lliure es desplaça en sentit contrari al camp elèctric i cap a potencials més grans
      Potencial elèctric (volt: V) d'una càrrega puntual Q en un punt A:
      treball, canviat de signe, que realitza la força elèctrica efectuada per la càrrega Q quan desplaça una altra càrrega puntual de +1 C des de l'infinit fins a A
      V_A = -W_{\infty \rightarrow A} V_{\infty} = 0 V_A = -W_{\infty \rightarrow A} = - \int_{\infty}^{r_A} K \frac{Q·1}{r^2}\vec{u} \cdot d\vec{r} = -KQ \left[ \frac{-1}{r} \right]_{\infty}^{r_A} = K \frac{Q}{r_A} \boxed{V=K\frac{Q}{r}}
      Potencial elèctric càrrega negativa
      Potencial elèctric creat per
      una càrrega negativa
      Potencial elèctric càrrega positiva
      Potencial elèctric creat per
      una càrrega positiva

      Diferència de potencial entre dos punts A i B: treball, canviat de signe, realitzat per la força elèctrica per desplaçar una càrrega punual de +1 C des de B fins a A: \Delta V = V_A - V_B = -W_{B \rightarrow A}
      Energia potencial elèctrica: treball, canviat de signe, per desplaçar una càrrega Q' des de l'infinit fins a A
      E_{pA} = Q' V_A \boxed{E_p = K \frac{QQ'}{r}}
      Si l'energia potencial és:
      • negativa, les forces són atractives; el sistema és estable
      • positiva, les forces són repulsives; el sistema és inestable
      El treball realitzat pel sistema, quan dues càrregues molt separades s'apropen:
      W_{\text{sistema}} = -\Delta E_p = - (E_{pA}-E_{p\infty}) = -(E_{pA}-0) = - E_{pA} = -K \frac{QQ'}{r} (donades dues càrregues de signe oposat, si es volen apropar, no cal fer res, ho farà el sistema, perquè es va des d'un potencial més alt, negatiu o zero, a un potencial més baix, encara més negatiu)
      El treball fet per les forces externes és: W_{\text{forces externes}} = \Delta E_p = K \frac{QQ'}{r} (donades dues càrregues del mateix signe, si es volen apropar, caldrà que unes forces externes facin un treball positiu, perquè es va des d'un potencial més baix, positiu, a un potencial més alt, encara més positiu)

      Variació de l'energia potencial del sistema: treball, canviat de signe, per desplaçar una càrrega Q' des d'un punt A fins a un punt B, en presència d'una càrrega Q
      W = -\Delta E_p = -(E_{pB}-E_{pA}) = -(Q'V_B - Q'V_A) = -Q'(V_B-V_A) = -Q'\Delta V


      Wsistema Wforces_externes
      les càrregues es mouen per la força elèctrica ΔEp<0 >0 <0
      les forces externes actuen de forma oposada a la força elèctrica, per a poder moure les càrregues ΔEp>0 <0 >0


      Conservació de l'energia, per ser un camp conservatiu
      \Delta E = \Delta E_c + \Delta E_p = 0
      Energia mecànica d'un electró (-e) que gira al voltant d'un protó (+e): \left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} \sum{F} = F_e = K \frac{e^2}{r^2} \\ a_t = \frac{v^2}{r} \end{array} \right\} \sum{F} = m·a \Rightarrow K\frac{e^2}{r^2} = m \frac{v^2}{r} \Rightarrow K\frac{e^2}{r} = mv^2\\ E_c = \frac{1}{2}mv^2 \end{array} \right\} E_c = \frac{1}{2} K \frac{e^2}{r}\\ E_p = -K \frac{e^2}{r} \end{array} \right\} E = E_p + E_c = -\frac{1}{2} K\frac{e^2}{r}

      Electronvolt (eV): energia cinètica que adquireix un electró quan supera una diferència de potencial d'1 V 1 \text{eV} = q_e \DeltaV = 1,602·10^{-19} \text{C} · 1 \text{V} = 1,602·10^{-19} \text{J}
      magnètic Força de Lorentz sobre una càrrega amb velocitat v dins d'un camp magnètic:
      \boxed{\vec{F_m} = Q (\vec{v} \times \vec{B})}
      Força de Lorentz
      Força de Lorentz
      • mòdul (producte vectorial): \boxed{F = |Q| v B \sin{(\alpha)}}
      • direcció i sentit: segons la regla de la mà dreta
        • per a una càrrega positiva, polze perpendicular al pla format per \vec{v} i \vec{B}
        • dits en el sentit de l'angle més petit des de \vec{v} fins a \vec{B}
      • la força és nul·la quan:
        • la càrrega es mou segons les línies del camp \vec{B}, perquè \sin{0}=0
        • la càrrega està en repòs

      En presència d'un camp magnètic constant, la força sobre:
      ... exercida sobre en presència d'un camp magnètic constant, la força ...
      conductor rectilini
      Força magnètica sobre conductor rectilini
      Força sobre un conductor rectilini
      \left. \begin{array}{r} v = \frac{\Delta l}{\Delta t} \\ I = \frac{\Delta Q}{\Delta t} \Rightarrow \Delta Q = I \Delta t \\ \Delta F = \Delta Q v b \sin{\alpha} \end{array} \right\} \Delta F = I \Delta t \frac{\Delta l}{\Delta t} B \sin{\alpha} = I \Delta l B \sin{\alpha} \sum_{i=1}^{n} F_i = I \sum_{i=1}^{n} \Delta l_i B \sin{\alpha} \boxed{ \vec{F}_{\text{total}} = I (\vec{l} \times \vec{B}) } 
      espira

      Força magnètica sobre espira
      Força sobre una espira

      Llei de Laplace: el parell de forces dels trams perpendiculars al camp magnètic faran que l'espira giri fins a col·locar-se en paral·lel amb el camp magnètic
      Aplicacions:
      Forces entre dos conductors paral·lels infinits:
      cada conductor crea un camp magnètic i crea una força sobre l'altre conductor
      Forces entre dos conductors
      Força entre dos conductors
      \left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} B_1 = \mu_0 \frac{I_1}{2\pi d} \\ F_2 = I_2 l B_1 \sin{90^\circ} \end{array} \right\} F_2 = \mu_0 \frac{I_1 I_2 l}{2 \pi d} \\ \left. \begin{array}{r} B_2 = \mu_0 \frac{I_2}{2\pi d} \\ F_1 = I_1 l B_2 \sin{90^\circ} \end{array} \right\} F_1 = \mu_0 \frac{I_1 I_2 l}{2\pi d} \end{array} \right\}


      Si els corrents tenen:
      • el mateix sentit: els conductors s'atreuen
      • sentit contrari: els conductors es repel·leixen

      Definició d'ampere: si per dos conductors rectilinis i paral·lels, separats per un metre de distància, passen dos corrents amb la mateixa intensitat i la força per unitat de longitud sobre cada conductor és de 2·10-7 N/m, diem que per cada conductor circula un corrent d'un ampere.
      \frac{F_1}{l} = \frac{F_2}{l} = \mu_0 \frac{I_1 I_2}{2 \pi d} = \frac{4 \pi 10^{-7}·1\text{A}·1\text{A}}{2\pi · 1 \text{m}} = 2·10^{-7} \text{N/m}
      Camp magnètic Geek3, CC BY-SA 3.0, via Wikimedia Commons
      Camp magnètic

      Intensitat de camp magnètic (inducció)
      (Tesla T; Gauss G) (1 T = 104 G):
      \vec{B}

      Les línies del camp magnètic:
      • surten del pol N
      • entren al pol S
      El moviment d'un electró al voltant del nucli genera un camp magnètic.

      Moment dipolar magnètic d'una espira o un electró:
      \boxed{\vec{m} = I \vec{S}} on:
      • I: intensitat de corrent elèctric
      • \vec{S}: vector superfície, perpendicular al pla de l'espira, amb el sentit de la regla de la mà dreta, com si fossin les càrregues positives les que creen el corrent (en realitat és al revés) i tenen una velocitat
      • el camp B creat té la mateixa direcció i sentit que el moment dipolar magnètic

      Camp magnètic creat per un corrent elèctric:
      • Ørsted: un corrent elèctric (càrregues en moviment) crea un camp magnètic
      • (El Experimento de Oersted: Procedimientos)
      • Tota càrrega en moviment crea un camp magnètic.
      • El moviment d'un electró al voltant del nucli genera un camp magnètic.
      • Una espira de corrent es comporta com un imant.
      ... creat per camp magnètic ...
      un diferencial de conductor, a qualsevol punt Llei de Biot-Savart:
      d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I·d\vec{l}\times\vec{u}_r}{r^2}
      conductor rectilini infinit
      Camp magnètic creat per conductor rectilini
      Camp magnètic creat per un conductor rectilini
      Llei d'Ampère:
      \boxed{B = \mu \frac{I}{2 \pi r}} on:
      • r: distància al conductor
      una espira amb corrent
      Camp magnètic creat per una espira
      Camp magnètic creat per una espira amb corrent
      Al centre de l'espira:
      \left. \begin{array}{r} B = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{I·dl}{R^2} \\ \int dl = 2\pi R \end{array} \right\} \boxed{B = \mu \frac{I}{2R}} on:
      • R: radi de l'espira
      un solenoide (bobina), que pot tenir un nucli ferromagnètic que crearà un camp magnètic que se suma al de la bobina (electroimant) \left. \begin{array}{r} B = \mu \frac{NI}{L} \\ n = \frac{N}{L} \end{array} \right\} B = \mu n I on:
      • N: nombre d'espires
      • L: longitud del solenoide
      • n: densitat d'espires
      on:
      • \mu: permeabilitat del medi (Tm/A)
        • aire: \mu_0 = 4\pi·10^{-7} \text{Tm/A}
        • permeabilitat relativa: \mu_r = \frac{\mu}{\mu_0}
      Davant d'un camp magnètic extern, segons el grau d'imantació, un material pot ser:
      • diamagnètic (\mu_r<1): s'indueix un moment dipolar magnètic molt feble, de sentit contrari. P.ex.: bismut, coure, diamant, or, zenc, plata, mercuri, aigua
      • paramagnètic (\mu_r \approx 1): els àtoms s'arrengleren de manera feble. P.ex.: alumini, titani, tungstè, estany, crom, oxigen
      • ferromagnètic (\mu_r > 1): s'indueix un arrenglerament molt alt i poden quedar imantats. P.ex.: ferro pur, cobalt, níquel, neodimi, aliatges d'aquests materials (acer, ...)

      Components de la inducció B (efecte):
      • permeabilitat µ: depèn del material que sustenta el camp magnètic
      • intensitat o excitació del camp magnètic H (causa): depèn exclusivament de les característiques del circuit que crea el camp: H = \frac{B}{\mu} \boxed{H = \frac{NI}{L} (\text{A/m})} La gràfica B(H) és lineal al voltant de l'origen, però després s'aplana (saturació)

      Força magnetomotriu (A) d'un circuit magnètic homogeni:
      \mathrm{FMM} = NI = H l_m si el circuit és heterogeni:
      \sum \mathrm{FMM} = \sum N_i I_i = \sum H_i l_{mi} on:
      • l_m: longitud mitjana del circuit
      Flux del camp magnètic (weber, Wb):
      \boxed{ \Phi = \vec{B} \cdot \vec{S} }
      • en mòdul (producte escalar): \Phi = B S \cos \varphi
      • ens indica la quantitat de línies de camp que travessen una superfície
      • si el camp magnètic no és uniforme:
        \Phi = \int \vec{B} \cdot \vec{S}


      FEM (força electromotriu) induïda (volts, V), creada en un conductor que es mou dins d'un camp magnètic:
      FEM induïda en un conductor rectilini
      Forces dins d'un conductor

      \left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} \vec{F}_m = Q(\vec{v}\times \vec{B}) \\ \vec{F}_e = Q \vec{E} \end{array} \right\} \text{en equilibri:}\quad \vec{F}_m + \vec{F}_e = 0 \quad \Rightarrow \quad E = v B \sin{\alpha} \\ \Delta V = \mathcal{E} = El \end{array} \right\} \boxed{\mathcal{E} = v B l \sin{\alpha}} 

      on:
      • B: inducció (T)
      • v: velocitat (m/s)
      • l: longitud del conductor (m)
      • \alpha: angle que forma \vec{v} amb \vec{B}
      Sentit del corrent induït, segons la regla de la mà dreta:
      • índex: camp magnètic
      • polze: moviment
      • mig: corrent

      Llei de Faraday: la FEM induïda en un circuit tancat és directament proprcional a la variació de flux magnètic que travessa la superfície definida pel circuit respecte el temps
      Variació flux en una espira
      Conductor rectilini mòbil formant una espira
      \left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} \Delta \href{#flux_camp_magnetic}{\Phi} = B · \Delta S \\ \Delta S = l · v\Delta t \end{array} \right\} \Delta \Phi = B (l v \Delta t) \Rightarrow \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = Bvl \\ \href{#fem_induida}{\mathcal{E}} = Bvl \sin{\frac{\pi}{2}} = Bvl \end{array} \right\} \boxed{ \mathcal{E} = \frac{\Delta\Phi}{\Delta t}}

      Llei de Faraday-Lenz: la FEM induïda en un circuit tancat és directament proporcional a la variació respecte el temps del flux magnètic que travessa la superfície definida pel circuit, de manera que el sentit del corrent induït és que dóna un efecte que s'oposa a la causa que el produeix.
       \mathcal{E} = - \frac{\Delta\Phi}{\Delta t} \boxed{\mathcal{E} = - \frac{d\Phi}{d t}}
      • el sentit del corrent induït és tal que s'oposa a la causa que el produeix;
      • el flux creat per un corrent induït té un sentit que s'oposa a la variació del flux que el crea
      • el corrent serà més intens com més ràpides siguin les variacions de flux magnètic.
      Lenz: imant s'apropa
      Un imant s'apropa
      a una espira
      Lenz: imant s'apropa
      Un imant s'allunya
      d'una espira

      FEM alterna induïda en una espira que gira dins d'un camp magnètic uniforme:
      \left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} \Phi(t) = BS \cos \varphi \\ \varphi = \omega t \end{array} \right\} \Phi(t) = BS \cos{(\omega t)} \\ \mathcal{E} = - \frac{d \Phi}{dt} \end{array} \right\} \boxed{ \mathcal{E}(t) = BS \omega \sin{(\omega t)}} \left\{ \begin{array}{l} \mathcal{E}(t) = \mathcal{E}_{0} \sin{(\omega t)} \\ \mathcal{E}_{0} = \mathcal{E}_{\text{màx}} = \Phi_{\text{màx}} \omega = BS \omega = BS 2\pi f \end{array} \right.
      Per a N espires:
      \mathcal{E} = - N \frac{d\Phi}{dt} = N \Phi_{\text{màx}} \omega \sin{(\omega t)}
      (esquema)
      Aplicacions (el moviment de l'espira és provocat per una energia externa):
      Alternador
      Alternador


      Autoinducció: si el corrent que circula per un conductor varia, crearà un camp magnètic de flux variable.
      El conductor quedarà sotmès a la variació del propi flux i crearà una FEM induïda, anomenada FEM autoinduïda (\epsilon_a) .
      • segons la llei de Lenz, el sentit de la FEM autoinduïda és contrari a la causa que el produeix; s'oposa a les variacions de corrent
      • el paràmetre que relaciona \epsilon_a amb les variacions de corrent és el coeficient d'autoinducció del circuit: autoinducció L


      Corrents de Foucault: corrents circulars induïts dins d'un conductor (per exemple, una placa) quan és sotmès a un camp magnètic variable.
      • aquests corrents creen camps magnètics que s'oposen al camp original i provoquen forces repulsives
      • pèrdues per calor degut a l'efecte Joule
      • els corrents de Foucault sobre els materials conductors que no formen part del circuit es poden reduir si es laminen els materials i se separen amb aïllant
      • aplicacions:
        • levitació
        • esmorteir oscil·lacions en balances mecàniques
        • frenada de trens magnètics
        • cuines d'inducció


      Transformador
      Transformador
      Transformador

      \left. \begin{array}{r} \Phi_{\text{primari}} = \Phi_{\text{secundari}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\Phi_p}{dt} = \frac{d\Phi_s}{dt} \\ \href{#llei_faraday_lenz}{\text{Faraday:}}\quad \mathcal{E} = - N \frac{d\Phi}{dt} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\Phi}{dt} = - \frac{\mathcal{E}}{N} \end{array} \right\} \quad \frac{\mathcal{E}_p}{n_p} = \frac{\mathcal{E}_s}{n_s} \quad\Rightarrow\quad \boxed{ \frac{\mathcal{E}_p}{\mathcal{E}_s} = \frac{n_p}{n_s} }
      Treball: l'energia cinètica de les càrregues no queda alterada per la presència de camps magnètics i es manté constant; els camps només afecten la direcció de la velocitat: la càrrega descriu un moviment circular
      \left. \begin{array}{r} \vec{F} \perp \Delta \vec{r} \Rightarrow W = 0 \\ W = \Delta E_c \end{array} \right\} \Rightarrow \Delta E_c = 0 \Rightarrow \Delta V = 0 \Rightarrow v = C
      Moviment d'una càrrega dins d'un camp magnètic
      Energia cinètica d'una càrrega en moviment dins d'un camp magnètic:
      \left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} \sum{F} = F_m = |Q|vB \\ a_t = \frac{v^2}{r} \end{array} \right\} \sum{F} = ma \Rightarrow |Q|vB = m\frac{v^2}{R} \Rightarrow \boxed{ R = \frac{mv}{|Q|B} = \frac{p}{|Q|B} } \Rightarrow v = \frac{R|Q|B}{m} \\ E_c = \frac{1}{2} m v^2 \end{array} \right\} E_c = \frac{(QBR)^2}{m}

      Freqüència del moviment circular (no depèn de la velocitat de la partícula):
      \left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} R = \frac{mv}{|Q|B} \\ \omega = \frac{v}{R} \end{array} \right\} \omega = \frac{|Q|B}{m} \\ f = \frac{\omega}{2\pi} \end{array} \right\} f = \frac{|Q|B}{2\pi m}

      Si una partícula entra en un camp magnètic amb una velocitat amb components paral·lel i perpendicular \vec{v} = \vec{v}_{\parallel} + \vec{v}_{\perp} només la component perpendicular es veurà afectada pel camp magnètic; descriurà un moviment helicoidal de radi: R = \frac{mv_{\perp}}{|Q|B} = \frac{mv\sin\alpha}{|Q|B}

      En el camp magnètic terrestre, algunes partícules carregades que provenen de l'exterior queden atrapades al cinturó de Van Allen, com si fos una ampolla magnètica.

      Aplicacions:
      • selector de velocitats
        • camp elèctric + camp magnètic: v = \frac{E}{B}
      • espectròmetre de masses
        • selector de velocitats + camp magnètic + plaques fotogràfiques
      • ciclotró
        velocitat energia cinètica
        v = \frac{R |Q| B}{m} E_c = \frac{(R|Q|B)^2}{2m}

  • Equacions de Maxwell
  • Electromagnetisme


    camp magnètic


    constant variable
    conductor sense corrent sense moviment si el metall és ferromagnètic, hi haurà forces d'atracció

    en moviment el flux magnètic varia
    • Faraday-Lenz: es crea una FEM induïda al conductor
    es creen corrents de Foucault al conductor
    conductor amb corrent constant sense moviment crea un camp magnètic constant

    en moviment
    • el conductor experimenta forces perpendiculars al camp magnètic

    circuit tancat ...






    conductor amb corrent variable sense moviment


    en moviment

  • Electromagnetisme
    • Imants
    • ...
  • Programari / Software
  • ...

Electricitat

  • Electrònica / Electronics
  • Diferència de potencial: \Delta V = \frac{\Delta E_p}{Q}
  • Intensitat de corrent: I = \frac{\Delta Q}{\Delta t} I = \frac{\Delta Q}{\Delta t} = \frac{n S v_m \Delta t e}{\Delta t} = n S v_m e
  • impedància
    • depèn de la freqüència
    • es pot mesurar amb un VNA (vector network analyser)
    • representació: carta de Smith
    Z = R + j X resistència (part real): R
    reactància (part imaginària):
    • X>0: inductància X_{L}
    • X<0: capacitància X_{C}
  • Lleis de Kirchhoff
    • ...
      Primera
      llei
      La suma algebraica dels corrents que arriben a un nus és igual a la suma algebraica dels corrents que surten del nus. \sum{I} = 0 kirchhoff
      • I_1 - I_2 + I_3 = 0
      Segona
      llei
      En tota malla o circuit tancat, la suma algebraica de totes les fem és igual a la suma algebraica de les caigudes de tensió. \sum{\varepsilon} = \sum{R} · I
      • malla a: \varepsilon_1 + \varepsilon_2 = I_1 · (r_1 + R_1) + I_2 · (R_2 + r_2)
      • malla b: -\varepsilon_2 - \varepsilon_3 = -I_2 · (r_2 + R_2) + I_3 · (r_3 + R_3)
    • Criteris:
      • en un nus:
        • corrent que hi entra: positiu
        • corrent que en surt: negatiu
      • sentit de referència d'una malla: sentit horari
      • en una malla:
        • intensitat en el mateix sentit que el de referència de la malla: positiva
        • intensitat en sentit contrari al de referència de la malla: negativa
      • fem
        • si el sentit del corrent que produeix (de pol negatiu a pol positiu) coincideix amb el sentit de referència de la malla: positiva
        • si el sentit del corrent que produeix (de pol negatiu a pol positiu) es contrari al sentit de referència de la malla: negativa
  • Corrent altern
    • paràmetre

      període T
      freqüència f
      valor instantani v, i
      v = V_{\text{màx}} \sin{\varphi} = V_{\text{màx}} \sin{\omega t}
      valor màxim V_{\text{màx}}, I_{\text{màx}}
      \mathcal{E}_0, I_0
      V_{\text{màx}} = NBS \omega (Faraday-Lenz)
      valor eficaç (RMS) V, I
      aquell que produeix els mateixos efectes calorífics,
      en passar per una resistència, que un corrent continu del mateix valor (potència mitjana)
      \left. \begin{array}{r} \text{corrent continu:}\; P_m = R I_e^2 \\ \text{corrent altern:}\; P_m = \frac{1}{2} R I_0^2 \end{array} \right\}\quad R I_e^2 = \frac{1}{2} R I_0^2 \quad \Rightarrow \quad I_e = \frac{I_0}{\sqrt{2}} \quad \Rightarrow \quad \boxed{I = \frac{I_{\text{màx}}}{\sqrt{2}}} \left. \begin{array}{r} \text{corrent continu:}\; P_m = \frac{\mathcal{E}_e^2}{R} \\ \text{corrent altern:}\; P_m = \frac{1}{2} \frac{\mathcal{E}_0^2}{R} \end{array} \right\} \quad \frac{\mathcal{E}_e^2}{R} = \frac{1}{2} \frac{\mathcal{E}_0^2}{R} \quad \Rightarrow \quad \mathcal{E}_e = \frac{\mathcal{E}_0}{\sqrt{2}} \quad \Rightarrow \quad \boxed{V = \frac{V_{\text{màx}}}{\sqrt{2}}} això ens permet generalitzar la llei d'Ohm
      valor mitjà

    • Elements passius (esquema resistència, bobina, condensador, memristor)



      corrent altern (sinusoidal)







      energia
      valor circuit amb impedància Z [Ω] llei d'Ohm generalitzada Z = \frac{I_{\text{màx}}}{V_{\text{màx}}} = \frac{\href{#valor_eficac}{I}}{\href{#valor_eficac}{V}} valors instantanis la intensitat,
      respecte la tensió
      Força electromagnètica
      \mathcal{E}(t) = Z I(t)
      intensitat
      I(t) = \frac{\mathcal{E}(t)}{Z}
      potència
      P(t) = \mathcal{E}(t) I(t)
      R: resistència dissipa l'energia en forma calorífica ...
      Circuit AC R
      resistència òhmica pura
      real:\vec{Z}=R I_{\text{màx}}=\frac{V_{\text{màx}}}{R} I=\frac{V}{R} v=V_{\text{màx}}\sin{\omega t}i=I_{\text{màx}}\sin{\omega t} està en fase
      Fasors AC R
      \mathcal{E}(t) = \mathcal{E}_0 \sin{\omega t} \mathcal{E}(t) = R I_0 \sin{\omega t} I(t) = \frac{\mathcal{E}_0}{R} \sin{\omega t} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} I(t) = I_0 \sin{\omega t} \\ I_0 = \frac{\mathcal{E}_0}{R} \end{array} \right. P(t) = R I_0^2 \sin^2{\omega t}
      potència mitjana (calculada a partir del treball en un període T): \left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} W = \int_0^T P(t) dt = \int_0^T R I_0^2 \sin^2{\omega t} dt = \left[ R I_0^2 \left( \frac{t}{2} - \frac{1}{4\omega} \sin{2\omega t} \right) \right]_0^T = \frac{1}{2} R I_0^2 T \\ P_m = \frac{W}{T} \end{array} \right\} \boxed{P_m = \frac{1}{2} R I_0^2} \\ I_e = \frac{I_0}{\sqrt{2}} \end{array} \right\} P_m = R I_e^2 (ens permet calcular el valor eficaç)
      L: inductància o bobina emmagatzemen l'energia elèctrica
      en forma de camp magnètic
      \left. \begin{array}{r} L := \frac{\href{#flux_camp_magnetic}{\Phi}}{I} \\ \href{#llei_faraday_lenz}{\mathcal{E}} = -\frac{d\Phi}{dt} \end{array} \right\} \mathcal{E} = - \frac{d(LI)}{dt} \Rightarrow \boxed{\mathcal{E} = - L\frac{dI}{dt}}
      Circuit AC L
      inductància pura
      imaginària positiva (inductància): \vec{Z} = \vec{X}_L = jL\omega = jL 2\pi f I_{\text{màx}} = \frac{V_{\text{màx}}}{X_L} I = \frac{V}{X_L} v = V_{\text{màx}} \sin{\omega t} i = I_{\text{màx}} \sin{(\omega t - \frac{\pi}{2})} va retardada 90°
      Fasors AC L



      C: capacitància o condensador emmagatzema l'energia elèctrica
      en forma de camp elèctric
      \boxed{I = C \frac{dV}{dt}}
      Circuit AC C
      capacitància pura
      imaginària negativa (capacitància): \vec{Z} = \vec{X}_C = \frac{1}{jC\omega} = \frac{1}{jC2\pi f} I_{\text{màx}} = \frac{V_{\text{màx}}}{X_C} I = \frac{V}{X_C} v = V_{\text{màx}} \sin{\omega t} i = I_{\text{màx}} \sin{(\omega t + \frac{\pi}{2})} va avançada 90°
      Fasors AC C



      memristor










    • Potència (calculada a partir dels valors eficaços)

      potència activa [W] potència reactiva [VAr] potència aparent [VA]

      real, mesurada pels comptadors
      (? potència real: component real d'I per V)
      necessària per a crear camps magnètics,
      però no produeix treball útil;
      cal minimitzar-la perquè perjudica la transmissió
      d'energia a les línies de distribució
      (? potència imaginària: component imaginària d'I per V)
      es transmet a les línies per
      fer-la arribar als consumidors

      corrent continu P = VI


      corrent altern P = VI \cos{\varphi} on:
      • factor de potència: \cos{\varphi} = \frac{R}{Z}
      • \varphi: desfasament entre V i I
      Q = VI \sin{\varphi} S = \sqrt{P^2 + Q^2} Triangle de potències
      corrent altern trifàsic P_T = P_{f1} + P_{f2} + P_{f3} P_T = V_{f1}I_{f1}\cos{\varphi_1} + V_{f2}I_{f2}\cos{\varphi_2} + V_{f3}I_{f3}\cos{\varphi_3} P_T = 3V_f I_f \cos{\varphi} Q_T = 3 V_f I_f \sin{\varphi} S_T = 3 V_f I_f
    • Circuits de corrent altern (les magnituds es representen com a nombres complexos: fasors; valors eficaços)

      esquema
      intensitat
      tensió corrent instantani i,
      respecte v
      potència freqüència de ressonància impedància de ressonància
      sèrie RL
      Circuit AC RL
      Circuit RL
      \vec{Z} = \vec{R} + \vec{X_L} = R + L\omega j = \|\vec{Z}\|_{\varphi}
      Impedàncies RL
      Impedàncies RL
      \vec{I} = \frac{\vec{V}}{\vec{Z}} \vec{V} = \vec{V_R} + \vec{V_L} = \vec{R}\vec{I} + \vec{X_L}\vec{I} està retardat \varphi
      Tensió intensitat RL
      \left. \begin{array}{r} P = V I \cos{\varphi} \\ Q = V I \sin{\varphi} \end{array} \right\} S = VI

      sèrie RC
      Circuit AC RC
      Circuit RC
      \vec{Z} = \vec{R} + \vec{X_C} = R - \frac{1}{C\omega} j
      Impedàncies RC
      Impedàncies RC
      \vec{I} = \frac{\vec{V}}{\vec{Z}} \vec{V} = \vec{V_R} + \vec{V_C} = \vec{R}\vec{I} + \vec{X_C}\vec{I} està avançat \varphi
      Tensió intensitat RC
      \left. \begin{array}{r} P = V I \cos{\varphi} \\ Q = V I \sin{\varphi} \end{array} \right\} S = VI

      LC







      sèrie RLC
      Circuit AC RLC
      Circuit RLC
      \vec{Z} = \vec{R} + \vec{X_L} + \vec{X_C}
      Impedàncies RLC
      Impedàncies RLC
      \vec{I} = \vec{I}_R = \vec{I}_L = \vec{I}_C \left. \begin{array}{r} \vec{V} = \vec{I} \vec{Z} \\ \left. \begin{array}{r} \vec{V} = \vec{V}_R + \vec{V}_L + \vec{V}_C \\ \vec{V}_R = \vec{I} \vec{Z}_R \\ \vec{V}_L = \vec{I} \vec{Z}_L \\ \vec{V}_C = \vec{I} \vec{Z}_C \end{array} \right\} \vec{V} = \vec{I} (\vec{Z}_R + \vec{Z}_L + \vec{Z}_C) \end{array} \right\} \vec{Z} = \vec{Z}_R + \vec{Z}_L + \vec{Z}_C
      • està retardat \varphi si \|\vec{X}_L\| \gt \|\vec{X}_C\|
      • està avançat \varphi si \|\vec{X}_L\| \lt \|\vec{X}_C\|

      quan \omega_0 fa que: \left. \begin{array}{r} \|\vec{Z}_L\| = \|\vec{Z}_C\| \\ \|\vec{Z}_L\| = L\omega_0 \\ \|\vec{Z}_C\| = \frac{1}{C\omega_0} \end{array} \right\} \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} el conjunt LC es comporta com un curtcircuit: la impedància total és mínima
      paral·lel RLC
      Circuit AC RLC paral·lel
      Circuit RLC paral·lel
      \frac{1}{\vec{Z}} = \frac{1}{\vec{Z}_R} + \frac{1}{\vec{Z}_L} + \frac{1}{\vec{Z}_C} \left. \begin{array}{r} \vec{I} = \frac{\vec{V}}{\vec{Z}} \\ \left. \begin{array}{r} \vec{I} = \vec{I_R} + \vec{I_L} + \vec{I_C} \\ \vec{I}_R = \frac{\vec{V}}{\vec{Z}_R} \\ \vec{I}_L = \frac{\vec{V}}{\vec{Z}_L} \\ \vec{I}_C = \frac{\vec{V}}{\vec{Z}_C} \end{array} \right\} \vec{I} = \vec{V} (\frac{1}{\vec{Z}_R} + \frac{1}{\vec{Z}_L} + \frac{1}{\vec{Z}_C}) \end{array} \right\} \frac{1}{\vec{Z}} = \frac{1}{\vec{Z}_R} + \frac{1}{\vec{Z}_L} + \frac{1}{\vec{Z}_C} \vec{V} = \vec{V}_R = \vec{V}_L = \vec{V}_C

      el conjunt LC es comporta com un circuit obert: la impedància total és màxima
    • Corrent altern trifàsic
      • Alternator (animació)
      • Càlculs en sistemes trifàsics (pdf)
      • Tres corrents monofàsics, del mateix valor eficaç, desfasats 120°


        • bobina
          L1 R XU
          L2 S YV
          L3 T ZW
      • Connexió de les tres fases fn cap a les línies Ln

        diagrama diagrama de tensions fase línia potència activa



        \vec{V}_f = \vec{\mathcal{E}}_f - \vec{R}_f\vec{I}_f - \vec{X}_f\vec{I}f V_{f1} = V_{f2} = V_{f3} = V_f \vec{V}_{f1} + \vec{V}_{f2} + \vec{V}_{f3} = 0 V_{L1} = V_{L2} = V_{L3} = V_L \vec{V}_{L1} + \vec{V}_{L2} + \vec{V}_{L3} = 0 P_T = 3 V_f I_f \cos{\varphi}
        en estrella
        (amb neutre)
        trifasic estrella trifàsic estrella tensions

        V_L = \sqrt{3}V_f I_L = I_f P_T = 3\frac{V_L}{\sqrt{3}} I_L \cos{\varphi} = \sqrt{3} V_L I_L \cos{\varphi}
        en triangle trifasica triangle Diagrama de tensions estrella

        V_L = V_f I_L = \sqrt{3}I_f P_T = 3 V_L \frac{I_L}{\sqrt{3}} \cos{\varphi} = \sqrt{3} V_L I_L \cos{\varphi}
      • Paràmetres





        tensió de fase intensitat de fase

        tensió de línia intensitat de línia


        intensitat del neutre
      • ...
  • Màquines elèctriques


    principi potència



    potència absorbida potència perduda potència útil potència nominal (a plena càrrega PC)



    subministada a la màquina per al seu
    funcionament, per:
    pèrdues d'energia
    subministrada per la màquina màxima potència útil sense deteriorar-se




    magnètica
    (histèresi,
    Foucault)
    elèctrica
    (Joule)
    mecànica
    (fregaments,
    ventilació)


    rotatives
    generador
    inducció electromagnètica
    (Faraday-Lenz)
    per la màquina motriu que el fa girar
    x
    x x subministrsada a la xarxa
    motor Llei de Laplace
    per la xarxa elèctrica
    x x x subministrada a l'eix
    estàtiques transformador
    per la xarxa elèctrica x x - subministrada a la xarxa
    • Generadors elèctrics

      corrent FEM generada
      on amb càrrega potència aparent
      dinamo CC \mathcal{E} = K \Phi n K = \frac{Np}{60a}
      • N: nombre de conductors actius de l'enrotllament induït (cada espira en té dos)
      • n: freqüència de rotació del motor en min-1
      • p: nombre de parells de pols de l'inductor
      • a: nombre de parells de branques en paral·lel del circuit induït


      alternador CA \mathcal{E}_f = K 4,44 N_s f \Phi \quad\text{[V]} n_s = \frac{60f}{p}
      • \mathcal{E}_f: FEM eficaç generada en cada fase
      • K: coeficient de l'enrotllament induït
      • Ns: nombre d'espires sèrie per fase
      • \Phi: flux per pol en Wb
      • f: freqüència en Hz
      • n_s: freqüència síncrona de rotació en min-1
      • p: nombre de parells de pols de l'induït
      • f: freqüència de la FEM induïda en Hz
      quan treballa amb càrrega, el pas del corrent provoca una
      caiguda de tensió, degut a la resistència i a la inductància:\vec{V}_f = \vec{\mathcal{E}}_f - \vec{R}_f\vec{I}_f - \vec{X}_f\vec{I}f
      • alternador monofàsic S = VI \quad\text{[VA]}
      • alternador trifàsic:
      • S = 3V_f I_f = \sqrt{3}V_L I_L \quad\text{[VA]}
    • Motors elèctrics

      • corrent continu corrent altern

        dinamo invertida asíncron (d'inducció)
        • camp magnètic giratori
          (generat per les tres fases d'un corrent altern trifàsic)
        síncron: alternador invertit (N. Tesla)


        trifàsic (yt)
        monofàsic
        • amb bobinatge auxiliar d'arencada
        • universal: motor CC amb excitació
          sèrie (trepant, aspirador)

        ús
        industrial electrodomèstics, màquines eina portàtils pràcticament no es fa servir
        sentit de gir regla de la mà esquerra


        força contraelectromotriu (Lenz) \mathcal{E}' = K \Phi n \quad\text{[V]}
        on:
        • n: freqüència de rotació [min-1]



        intensitat del motor (I):
        intensitat que absorbeix el motor
        I = \frac{V_L - \mathcal{E}'- 2 V_{CO}}{R_t} \quad \text{[A]}
        on:
        • R_t: resistència òhmica que la màquina oposa al pas del corrent
        • V_{CO}: caiguda de tensió entre el col·lector i les escombretes (2 V)
        \left. \begin{array}{r} \href{#motor_ac_asincron_trifasic_potencia}{P_\text{abs}} = \sqrt{3} V_L I_L \cos{\varphi} \\ \href{#motor_ac_asincron_trifasic_rendiment}{\eta} = \frac{P_u}{P_\text{abs}} \; \Rightarrow \; P_\text{abs} = \frac{P_\text{u}}{\eta} \end{array} \right\} \quad I = \frac{P_u}{\sqrt{3} V_L \eta \cos{\varphi}}

        intensitat d'arrencada
        o de curtcircuit (\mathcal{E}'=0)
        I_a = I_{CC} = \frac{V_L - 2 V_{CO}}{R_t} \quad \text{[A]} REBT: I_a \le (1,5 \div 2,5) I_i \Rightarrow cal un reòstat d'arrencada (R_{Ra}) tal que: I_a = \frac{V_L - 2 V_{CO}}{R_t + R_{Ra}}


        velocitat de gir \left. \begin{array}{r} n = \frac{\mathcal{E}'}{K\Phi} \\ \mathcal{E}' = V_L - R_t I - 2 V_{CO} \end{array} \right\} \;n = \frac{V_L - R_t I - 2 V_{CO}}{K\Phi} \Rightarrow \boxed{n \simeq \frac{V_L}{K\Phi}} \quad \text{[min}^{-1}\text{]} velocitat del rotor (nr) inferior a la de sincronisme (ns)
        (perquè si fos la mateixa no hi hauria canvi de flux
        i per tant no hi hauria FEM induïda)
        n_s = \frac{f}{p} \quad \text{[s}^{-1}\text{]} on:
        • f: freqüència de la xarxa d'alimentació
        • p: parells de pols de l'estator
        velocitat del rotor (de lliscament): n_r = n_s - n lliscament relatiu: s = \frac{n_r}{n_s}
        velocitat inferior a la de sincronisme velocitat de sincronisme: n_s = \frac{f}{p} \quad \text{[s}^{-1}\text{]} on:
        • f: freqüència de la xarxa d'alimentació
        • p: parells de pols de l'estator
        estabilitat un motor és estable quan:
        • en augmentar la velocitat, respon amb una reducció del parell motor
          que estableix l'equilibri.
          En cas contrari, el motor s'embalarà.
        • en reduir la velocitat, respon amb un augment del parell motor.
          En cas contrari, el motor anirà perdent força i s'aturarà.



        potència absorbida (P_\text{abs}),
        induïda (P_\text{i}), útil (P_\text{u})
        \boxed{P_{\text{abs}} = V_L I}\quad \text{[W]} \; \left\{ \begin{array}{l} \boxed{P_\text{i} = \mathcal{E}' I_i}\; \left\{ \begin{array}{l} P_\text{u} \\ P_\text{mecàniques} \end{array} \right. \\ P_\text{magnètiques} + P_\text{elèctriques} \end{array} \right. \left. \begin{array}{r} \href{#potencia_activa}{P_\text{abs}} = \sqrt{3} V_L I_L \cos{\varphi} \quad \text{[W]} \\ \href{#potencia_reactiva}{Q_\text{abs}} = \sqrt{3} V_L I_L \sin{\varphi} \quad \text{[VA}_r\text{]} \end{array} \right\} \quad \href{#potencia_aparent}{S_\text{abs}} = \sqrt{3} V_L I_L \quad \text{[VA]} on:

        rendiment del motor \eta = \frac{P_u}{P_\text{abs}} = \frac{P_u}{P_u + P_p}
        on:
        • Pp: pèrdues magnètiques, elèctriques i mecàniques
        \eta = \frac{P_\text{u}}{P_\text{abs}} = \frac{P_\text{u}}{P_\text{u} + P_\text{Fe} + P_\text{Cu} + P_\text{mecàniques}}

        parell motor (Laplace) \left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} \href{#llei_laplace}{F} = B I_i L\\ \Gamma = NFr \end{array} \right\} \Gamma = NBI_i L\\ B = \frac{\Phi}{S}\\ S = \frac{2\pi r l}{2p}\\ \end{array} \right\} \Gamma = N \frac{\Phi p}{\pi l} I_i L \quad \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r} \boxed{\Gamma = K \Phi I_i}\\ K = \frac{Np}{\pi l}L \end{array} \right.
        on:
        • \Phi: flux de cada pol [Wb]
        • I_i: intensitat de l'induït [A]
        \Gamma = \frac{P_u}{2 \pi n} \quad \text{[N·m]}

        parell intern i útil \Gamma_i = \frac{P_i}{\omega} = \frac{\mathcal{E}'I_i}{\omega} \quad \text{[N·m]} \Gamma_u = \frac{P_u}{\omega} \quad \text{[N·m]}


        parell d'engegada (\Gamma_a) ha de ser més gran que el parell motor nominal, ja que a més de
        vèncer el parell resistent (\Gamma_r), ha d'accelerar el motor fins
        a la velocitat nominal (veǹcer el moment intern del motor \Gamma_i): \Gamma_a = K\Phi_a I_a \Gamma_a = \Gamma_r + \Gamma_i



      • Pèrdues
        pèrdues circuit causa
        magnètiques (del ferro) magnètic corrents paràsits o de Foucault
        elèctriques (del coure) elèctric efecte Joule
        mecàniques
        fregaments i ventilació
  • Pèrdues de potència en una línia (L: longitud, s: secció, \rho: resistivitat) p = \frac{3\rho I^2 L}{s}

Ones

Mecànica lagrangiana i hamiltoniana

  • Mecànica lagrangiana
    • Why Lagrangian Mechanics is BETTER than Newtonian Mechanics F=ma | Euler-Lagrange Equation | Parth G
    • \mathcal{L} = T - V, on T és l'energia cinètica i V és l'energia potencial; no té sentit físic
    • Equació d'Euler-Lagrange:\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot{q}} \right) = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q}
    • Avantatges:
      • no considera forces; només energies
      • més convenient per a sistemes amb múltiples forces
      • millor per quan hi ha múltiples coordenades
    • Exemple d'una massa amb una molla:

      • energia cinètica:T=\frac{1}{2}m \dot{x}^2 \mathcal{L} = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 -\frac{1}{2}k{x}^2 per a trobar l'equació del moviment, fem servir l'equació d'Euler-Lagrange: \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial\left(\frac{1}{2}m\dot{x}^2 -\frac{1}{2}k{x}^2\right)}{\partial \dot{x}} \right) = \frac{\partial\left(\frac{1}{2}m\dot{x}^2 -\frac{1}{2}k{x}^2\right)}{\partial x} i trobem:m\ddot{x} = -kxque és el mateix que la segona llei de Newton: m\vec{a} = \sum{\vec{F}}
        energia potencial elàstica de la molla:V=-\frac{1}{2}k {x}^2
  • Mecànica hamiltoniana
    • H = T + V, on T és l'energia cinètica i V és l'energia potencial

Física de partícules / Particle physics

  • Bibliografia
    • «El bosón de Higgs», David Blanco
  • Info
    • una partícula és una pertorbació en un camp quàntic
    • ...
  • Nomenclatura
    • The Language of Quantum Physics is Strange | PHYSICS EXPLAINED (Parth G)
    • Some light quantum mechanics (with minutephysics) (3Blue1Brown)
      • kets, superposisició, camps electromagnètics, equacions de Maxwell, ones
    • ...



      propietats
      bra-ket bra \langle \Psi | inner product is 1: \langle \Psi | \Psi \rangle = 1
      ket | \Psi \rangle
    • Superposició d'un estat quàntic
      estat quàntic

      quan es fa una observació, deixa d'haver-hi  superposició d'estats i
      l'estat col·lapsa cap a una de les components, amb probabilitat:
      | \Psi \rangle = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) |\uparrow\rangle + \left(\frac{1}{2}\right) |\downarrow\rangle
      • |\uparrow\rangle (spin up) i |\downarrow\rangle (spin down) són dos vectors ortogonals d'un espai abstracte (Hilbert).
        Per tant el seu inner product és zero:
        • \langle\downarrow|\uparrow\rangle = 0
      • cap a l'eix | \uparrow \rangle amb probabilitat \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^2 = \frac{3}{4}
      • cap a l'eix | \downarrow \rangle amb probabilitat \left( \frac{1}{2} \right) ^2 = \frac{1}{4}
  • Equació de Schrödinger
  • Teories
    • Model estàndard
    • Interaccions i teories


      interacció
      teoria
      partícules mediadores es conserva
      model estàndard electrofeble electromagnètica QED
      • fotó (γ)



      feble
      • desintegració beta-
      • desintegració beta+
      • bosó Z
      • bosó W+
      • bosó W-



      forta QCD
      • uneix els quarks mitjançant gluons
      • SU(3)
      • gluons
      hipercàrrega


      gravitatòria

      • gravitons?

  • Radioactivitat
    • α alfa nuclis d'heli-4
      full de paper
      β beta electrons o positrons accelerats interacció feble làmina d'alumini
      x / γ gamma fotons d'alta energia
      placa de plom
      n neutrònica neutrons emesos espontàniament o per fissió bloc d'aigua o formigó
  • Simetria i conservació

    • teories si hi ha simetria llavors es conserva
      Emmy Noether clàssiques de traslació espacial moment lineal (quantitat de moviment) / linear momentum: \vec{p} = m \vec{v}
      rotacions moment angular / angular momentum: L = Iw
      no evolucionen amb el temps energia
      Ward–Takahashi identity QED gauge: redundància en la descripció matemàtica (ex: rotació del penell i de la seva base) càrrega un altre camp compensa els canvis que trenquen la simetria en el primer camp,
      per a aconseguir una simetria gauge. Per exemple: camp dels electrons i camp dels fotons (QED)
      Slavnov–Taylor identities QCD


  • Camps: classificació segons el seu comportament davant de les rotacions

    • espín camp
      física clàssica / classical field theory física quàntica (camp quàntic) / quantum field theory
      model estàndard 0 camp escalar
      • camp de temperatura: 
        • a cada punt x,y,x,t se li assigna un escalar
      • camp escalar quàntic:
        • a cada punt x,y,z,t se li assigna una única funció de probabilitat d'energia (P(E))

      1/2 camp espinorial -
      • camp espinorial quàntic:
        • a cada punt x,y,z,t se li assignen 2 espinors
          • -1/2
          • 1/2
      • relacionats amb els estats dretà i esquerrà dels electrons i quarks
      1 camp vectorial
      • camp de vent:
        • a cada punt x,y,z,t se li assigna un vector (direcció i mòdul)
      • camp vectorial quàntic:
        • a cada punt x,y,z,t se li assignen tres (3 graus de llibertat) funcions de probabilitat d'energia
          • -1: transversal a l'eix de la propagació
          • 0: longitudinal (eix de la propagació)
            • si existeix: té massa; no pot arribar a la velocitat de la llum
            • si no existeix: no té massa; pot arribar a la velocitat de la llum
          • 1: transversal a l'eix de propagació


      3/2




      2

      gravitons?
  • Famílies de camps

    • estadística descrit per partícula espín

      camps fermiònics Fermi-Dirac: exclusió de Pauli camp espinorial fermió 1/2 camp espinorial
      • camp d'electrons
      • camp de quarks
      • camp de neutrins
      camps bosònics Bose-Einstein: admeten superposició camps tensorials bosó escalar 0 camp escalar
      • camp de Higgs
        • H
        • H1, H2, H3: aporten la component longitudinal dels bosons Z, W+, W- i fan que tinguin massa



      bosó de gauge 1 camp vectorial
      • camp de fotons
      • mediadors de la interacció feble
        • camps W+. W-, Z
      • mediadors de la interacció forta
        • gluons
  • Components de camps vectorials quàntics
    • força


      transversal (-1) transversal (1) longitudinal (0)
      (la component del camp de Higgs proporciona la massa)

      electromagnètica fotó γ W3 B -
      no té massa
      feble bosó Z W3 B H1


      W+ W1 W2 H2


      W- W1 W2 H3
  • ...

http://www.francescpinyol.cat/fisica.html
Primera versió: / First version: 2022
Darrera modificació: 22 de febrer de 2023 / Last update: 22nd February 2023

Valid HTML 4.01!

Cap a casa / Back home.