Física

Índex

Cinemàtica
- Moviment ondulatori
- Fenòmens ondulatoris
  - Difracció
  - Polarització
  - Efecte Doppler
  - Interferències
  - Ones estacionàries
Dinàmica
Camps
Llum
Electricitat
- Corrent altern
  - Elements passius (R, L, C)
  - Potència
  - Circuits
  - Corrent altern trifàsic
- Màquines elèctriques
Ones
Mecànica lagrangiana i hamiltoniana
Física de partícules
- Partícules
  - Partícules elementals
- Física nuclear

General

Info
- The Feynman Lectures on Physics
- Aula McGrawHill

Mecànica

Tipus (Branches of physics)
- clàssica:
- quàntica:
  - De Broglie
    - Dualitat ona / partícula: qualsevol partícula en moviment té una ona associada, la longitud d'ona de la qual està relacionada amb la massa i la velocitat de la partícula
  - Heisenberg
    - Principi d'incertesa: és impossible conèixer simultàniament i amb exactitud la quantitat de moviment i la posició d'una partícula; o bé l'energia mesurada durant un període de temps
      - \Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}
      - \Delta E \cdot \Delta t \ge \frac{h}{4\pi}
    - Helgoland
  - Schrödinger
    - Equació d'ona d'una partícula (electró) (1926)
      - les solucions depenen de tres nombres enters: nombres quàntics
      - densitat de probabilitat
- relativista:

Aplicació:

v (m/s)
10⁸
10⁶
10⁴
10²
0	10^{-14}	10^{-10}	10^{-6}	10^{-2}	10^2	10^6	10^10	10^14	10^18	d (m)

Cinemàtica (moviment)

moviment rectilini

moviment circular

moviment harmònic simple
(projecció d'un moviment circular sobre un dels eixos)

vectorial

rectilini

vectorial

circular

posició

posició \vec{r}[m]\vec{r}(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j}

posició x [m]
components:

component x: x = x_0 + v_{0x}t + \frac{1}{2}a_xt^2
component y: y = y_0 + v_{0y}t + \frac{1}{2}a_yt^2

posició:

\vec{r}(t) = R(\cos{\omega t}, \sin{\omega t}) = R \cos{\omega t} \vec{i} + R \sin{\omega t} \vec{j}

angle \varphi [rad]: \varphi = \varphi_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2

arc s [m]: s = \varphi R

s = s_0 + v_0 t + \frac{1}{2}a_t t^2

elongació: y [m]:
y(t) = A \sin{(\omega t + \varphi_0)} on:

A: amplitud
\varphi_0: fase inicial

velocitat

velocitat \vec{v} [m/s]
\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} vector:

mòdul (celeritat)
direcció: la del moviment

velocitat lineal v [m/s]: v_x = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{dx}{dt}

v_x = v_{0x} + at

velocitat angular \vec{\omega} [rad/s]
vector:

mòdul: \omega = \frac{d\varphi}{dt}
direcció: perpendicular al pla de gir

velocitat angular \omega [rad/s]\omega = \frac{\Delta \varphi}{\Delta t} = \frac{d\varphi}{dt}

\omega = \omega_0 + \alpha t

\left. \begin{array}{r} \omega = \frac{2\pi}{T} \\ f = \frac{1}{T} \end{array} \right\} \quad \omega = 2\pi f

velocitat lineal v [m/s]: v = \omega R

velocitat lineal: v(t) = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = A \omega \cos{(\omega t + \varphi_0)} = A \omega \sin \left( \omega t + \varphi_0 + \frac{\pi}{2} \right) velocitat angular \omega [rad/s]:

\left. \begin{array}{r} \omega = \frac{2\pi}{T} \\ f = \frac{1}{T} \end{array} \right\} \quad \omega = 2\pi f

acceleració

acceleració

\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}

\vec{a} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} components:\vec{a} = \vec{a_t} + \vec{a_n}

tangencial (canvi de mòdul):
mateixa direcció que la velocitat, amb mòdula_t = \frac{dv}{dt}
normal (canvi de direcció):
perpendicular a la velocitat, cap al centre, amb mòdula_n = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R

acceleració tangencial a (m/s²): a = \frac{\Delta v}{\Delta t}

acceleració angular \vec{\alpha} [rad/s²]
vector:

mòdul:\alpha = \frac{d\omega}{dt}
direcció: perpendicular al pla de gir

acceleració angular \alpha [rad/s²]

\alpha = \frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \frac{d\omega}{dt}

acceleració

tangencial (canvi de mòdul):
a_t = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}^2 s}{\mathrm{d} t^2} a_t = \alpha R

normal (canvi de direcció): a_n = \frac{v^2}{R}=\omega^2 R

Demostració:
per ser triangles semblants: \frac{\Delta r}{r} =\frac{\Delta v}{v} dividint per delta de t: \frac{\Delta r}{r \Delta t} =\frac{\Delta v}{v \Delta t}

\frac{v \Delta r}{r \Delta t} =\frac{\Delta v}{\Delta t}

\boxed{\frac{v^2}{r} = a_n}

acceleració:

a(t) = \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}t^2} = - A \omega^2 \sin (\omega t + \varphi_0) = A \omega^2 \sin (\omega t + \varphi_0 + \pi)

Dinàmica del MHS:

	Equació diferencial del moviment harmònic simple \boxed{ \frac{\mathrm{d}^2y(t)}{\mathrm{d}t^2} + \omega ^2 y(t) = 0 }	solució: \left. \begin{array}{r} \frac{\mathrm{d}^2y(t)}{\mathrm{d}t^2} + B y(t) = 0 \\ y(t) = A \sin (\omega t + \varphi_0) \end{array} \right\} \quad - A \omega^2 \sin (\omega t + \varphi_0) + B A \sin (\omega t + \varphi_0) = 0 -\omega ^2 + B = 0 \quad \Rightarrow \quad \omega = \sqrt{B}
molla (Llei de Hooke)	\left. \begin{array}{r} \sum{F} = ma \\ \sum{F} = -ky \end{array} \right\} \quad -ky = m \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}t^2} \quad \Rightarrow \quad \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}t^2} + \frac{k}{m} y(t) = 0	\left. \begin{array}{r} \frac{\mathrm{d}^2y(t)}{\mathrm{d}t^2} + \frac{k}{m} y(t) = 0 \\ \boxed{y(t) = A \sin (\omega t + \varphi_0)} \end{array} \right\} \quad - A \omega^2 \sin (\omega t + \varphi_0) + \frac{k}{m} A \sin (\omega t + \varphi_0) = 0 -\omega ^2 + \frac{k}{m} = 0 \quad \Rightarrow \quad \boxed{\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}}
pèndol	\left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} \sum F_t = m \href{#acceleracio_tangencial}{a_t} \\ \sum F_t = - mg \sin \theta \end{array} \right\} \quad - mg \sin \theta = m \frac{\mathrm{d}^2 s}{\mathrm{d}t^2} \\ s = \theta l \\ \text{per a angles petits:} \quad \sin \theta \simeq \theta \end{array} \right\} \quad \frac{\mathrm{d}^2 s(t)}{\mathrm{d}t^2} + \frac{g}{l} s(t) = 0	\boxed{s(t) = S \sin (\omega t + \varphi_0)} \boxed{\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}}

Moviment ondulatori

Moviment combinat (p.ex., en tir parabòlic: a = -g):

velocitat inicial	\left\{ \begin{array}{r} v_{0x} = v_0 \cos{\alpha} \\ v_{0y} = v_0 \sin{\alpha} \end{array} \right.
posició	\left. \begin{array}{r} x = x_0 + v_0 \cos(\alpha) t \\ y = y_0 + v_0 \sin(\alpha) t + \frac{1}{2}at^2 \end{array} \right\} y = y_0 + (x - x_0) \tan(\alpha) + \frac{a (x-x_0)^2}{2v_0^2 \cos^2(\alpha)}
abast horitzontal màxim: x quan y=0
alçada màxima: y quan t fa que v_y = 0	v_y = v_{0y} + a t

Sistemes inercials

sistema inercial S	sistema inercial S' (a una velocitat v en x)
	transformacions de Galileu (v<<c)	transformacions d'Einstein-Lorentz
x	x'= x-vt	x' = \frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}
y	y'=y	y'=y
z	z'=z	z'=z
t	t'=t	t' = \frac{t-\frac{xv}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

Moviment ondulatori

no hi ha un transport de matèria, sinó només de quantitat de moviment i d'energia

classificació segons	tipus
dimensions	ones unidimensionals: corda ones bidimensionals: superfície d'un líquid ones tridimensionals: so, llum
medi de propagació	mecàniques: necessiten un medi (corda, superfície d'un líquid, so) electromagnètiques: es poden propagar en el buit (llum)
durada de la pertobació	pols tren d'ones
oscil·lació	ones longitudinals: les partícules oscil·len en la mateixa direcció de la propagació (compressió d'una molla, so) ones transversals: les partícules oscil·len en direcció perpendicular a la de la propagació (oscil·lació d'una molla, corda, superfície d'un líquid)

moviment

característiques

moviment oscil·latori
(de les partícules del medi)

tipus	posició	velocitat	acceleració
MHS	y(t) = A sin(wt+f)
...

moviment ondulatori
(de la pertorbació)

velocitat de fase (v)

velocitat amb què es transmet la pertorbació des del focus fins a un punt determinat del medi
velocitat amb què es transmeten la quantitat de moviment i l'energia des del focus emissor fins a diferents punts del medi
constant (a diferència del moviment oscil·latori) en un medi homogeni
només depèn de les propietats del medi i no del moviment del focus emissor
però si l'observador es mou, pot observar una velocitat de fase diferent
velocitat de l'ona relativa al medi

front d'ona:

conjunt de punts del medi als quals arriba la pertorbació en un instant de temps determinat
tots aquests punts estan en fase

raig:

qualsevol línia recta que sigui perpendicular a un front d'ona determinat
en una ona:
- plana: els raigs són paral·lels
- cilíndrica o esfèrica: els raigs són radials

pertorbació

equació d'ona

ona harmònica:
aquella que infereix un
moviment harmònic simple
a les partícules del medi

\left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} t_1: \;\text{l'origen té elongació} \quad y(0,t_1) = A \sin{\omega t_1} \\ \left. \begin{array}{r} t_2: \;\href{#velocitat_fase}{\text{la pertorbació, amb velocitat de fase v, arriba al punt}}\; x: \quad t_2 = \frac{x}{v} \\ t: \;\text{el punt x assoleix la mateixa elongació que l'origen}\quad t = t_1 + t_2 \end{array} \right\}\quad t = t_1 + \frac{x}{v} \quad \Rightarrow \quad t_1 = t - \frac{x}{v} \\ \text{en l'instant t, el punt x assoleix la mateixa elongació que l'origen a l'instant}\;t_1:\quad y(x,t) = y(0,t_1) \end{array} \right\}\quad y(x,t) = A \sin \omega \left( t - \frac{x}{v} \right) \\ \text{nombre d'ona (k): nombre de vegades que es repeteix l'ona en una longitud de}\;2\pi\text{m:}\quad k \triangleq \frac{\omega}{v} \end{array} \right\}\quad \boxed{y(x,t) = A \sin(\omega t - kx)} \\ \text{període:}\quad T \triangleq \frac{2\pi}{\omega} \\ \text{longitud d'ona: distància entre dos punts consecutius amb el mateix estat d'oscil·lació} \quad \lambda \triangleq \frac{2\pi}{k} \end{array} \right\} \quad \boxed{ y(x,t) = A \sin 2\pi \left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} \right) }

\left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} k = \frac{\omega}{v} \quad \Rightarrow \quad v = \frac{\omega}{k}\\ \omega = 2\pi f \\ k = \frac{2\pi}{\lambda} \end{array} \right\} \quad v = \frac{2\pif}{\frac{2\pi}{\lambda}} \quad \Rightarrow \quad v = \lambda f \\ f = \frac{1}{T} \end{array} \right\}\quad v = \frac{\lambda}{T}

càrregues elèctriques accelerades
(equacions de Maxwell)

\left. \begin{array}{r} \boxed{ \vec{E}(x,t) = E_0 \sin{(\omega t - kx)} \vec{j} }\; \\ \boxed{ \vec{B}(x,t) = B_0 \sin{(\omega t - kx)} \vec{k} } \end{array} \right\} \quad \vec{E} \times \vec{B} = \vec{c} \,\Rightarrow\, c = \frac{E}{B} = \frac{E_0}{B_0}

Fenòmens ondulatoris

Principi de Huygens. Difracció
- Principi de Huygens: qualsevol punt al qual arriba la pertorbació transmesa per una ona es comporta com a nou focus emissor d'ones secundàries, les quals es propaguen en totes direccions amb la mateixa velocitat de fase.
- Difracció: distorsió o variació en la direcció de propagació d'una ona quan aquesta troba en la seva transmissió un obstacle que té unes dimensions comparables a la longitud d'ona i que n'iimpedeix la propagació.
  - la difracció es produeix quan l'obstacle és de dimensions comparables amb la longitud d'ona

Reflexió i refracció

(esquema reflexió i refracció)

reflexió:

\left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} \sin{\alpha_i} = \frac{BB'}{AB'}\\ BB' = v_1t \end{array} \right\} \sin{\alpha_i} = \frac{v_1t}{AB'} \\ \left. \begin{array}{r} \sin{\alpha_r} = \frac{AA'}{AB'}\\ AA' = v_1t \end{array} \right\} \sin{\alpha_r} = \frac{v_1t}{AB'} \end{array} \right\} \frac{\sin{\alpha_i}}{\sin{\alpha_r}} = 1 \Rightarrow \boxed{ \alpha_i = \alpha_r }

refracció (llei de Snell):
\left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} \sin{\alpha_i} = \frac{BB'}{AB'}\\ BB' = v_1t \end{array} \right\} \sin{\alpha_i} = \frac{v_1t}{AB'} \\ \left. \begin{array}{r} \sin{\alpha_r'} = \frac{AA''}{AB'}\\ AA'' = v_2t \end{array} \right\} \sin{\alpha_r'} = \frac{v_2t}{AB'} \end{array} \right\} \boxed{ \frac{\sin{\alpha_i}}{\sin{\alpha_r'}} = \frac{v_1}{v_2} } \quad\text{Llei de Snell} \\ \text{índex de refracció del medi 1:} \quad n_1 = \frac{c}{v_1} \\ \text{índex de refracció del medi 2:} \quad n_2 = \frac{c}{v_2} \end{array} \right\} \; \frac{\sin{\alpha_i}}{\sin{\alpha_r'}} = \frac{n_2}{n_1} angle d'incidència límit (\alpha_r' = 90^\circ),
quan passa d'un medi amb velocitat v a un medi amb velocitat c (aire): \frac{\sin{\alpha_{iL}}}{1} = \frac{v}{c} \quad \Rightarrow \quad \alpha_{iL} = \arcsin{\left( \frac{1}{n} \right)}

quan el raig passa...	llavors...
d'un medi menys dens a un medi més dens v_1 > v_2	el raig refractat s'apropa a la normal
d'un medi més dens a un medi menys dens v_1 < v_2	el raig refractat s'allunya de la normal

Polarització (en ones transversals)


polarització lineal: només hi ha vibració en una de les possibles direccions perpendiculas a la direcció	(esquema de polarització lineal)
polarització circular: el focus oscil·la de manera circular, variant contínuament la direcció de la vibració, però sense variar-ne l'amplitud	(esquema de polarització circular)

Efecte Doppler (en ones transverals i longitudinals)

l'observador veu que la font...	la longitud d'ona	freqüència
s'apropa	és més petita	f_obs > f_original
s'allunya	és més gran	f_obs < f_original

Interferències

dues fonts coherents puntuals	interferència
expressió general: \left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} y_1 = A_0 \sin{(\omega t - kr_1)}\\ y_2 = A_0 \sin{(\omega t - kr_2)} \end{array} \right\} y = y_1 + y_2 = A_0 [\sin{(\omega t - kr_1)} + A_0 \sin{(\omega t - kr_2)}] \\ \sin{\alpha} + \sin{\beta} = 2 \cos{\left(\frac{1}{2}(\alpha-\beta)\right)} \sin{\left(\frac{1}{2}(\alpha + \beta)\right)} \end{array} \right\} y = 2A_0 \cos{k \left( \frac{r_2-r_1}{2} \right)} \sin{\left( \omega t - k \frac{r_1+r_2}{2}\right)} \left\{ \begin{array}{l} y = A_r \sin{\left( \omega t - k \frac{r_1+r_2}{2}\right)}\\ \left. \begin{array}{r} A_r = 2A_0 \cos{k \left( \frac{r_2-r_1}{2} \right)} \\ k = \frac{2\pi}{\lambda} \end{array} \right\} A_r = 2A_0 \cos{\pi \left(\frac{r_2-r_1}{\lambda}\right)} \end{array} \right.	destructiva: A_r = 0 \; \Rightarrow \; \cos{\pi \left(\frac{r_2-r_1}{\lambda}\right)} = 0 \; \Rightarrow \; \pi \left(\frac{r_2-r_1}{\lambda}\right) = (2n+1) \frac{\pi}{2} \; \Rightarrow \; \boxed{ r_2 - r_1 = (2n+1)\frac{\lambda}{2} }
	parcialment constructiva: 0 < A_r < 2A_0
	constructiva: A_r = 2A_0 \; \Rightarrow \; \cos{\pi \left(\frac{r_2-r_1}{\lambda}\right)} = \pm 1 \; \Rightarrow \; \pi \left(\frac{r_2-r_1}{\lambda}\right) = n\pi \; \Rightarrow \; \boxed{ r_2 - r_1 = n\lambda }

Ones estacionàries

ona estacionària

MHS equivalent

harmònics

\left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} y(x,t) = y_i(x,t) + y_r(x,t) = A_i \sin{(\omega t + kx)} + A_r \sin{(\omega t - kx)} \\ \left. \begin{array}{r} y(0,t) = (A_i + A_r)\sin{(\omega t)} \\ y(0,t) = 0 \end{array} \right\} \quad A_i = -A_r = A_0 \end{array} \right\} \quad y(x,t) = A_0 \left[ \sin{(\omega t + kx)} - \sin{(\omega t - kx)}\right] \\ \sin{\alpha} - \sin{\beta} = 2\sin{\frac{1}{2}(\alpha - \beta)} \cos{\frac{1}{2}(\alpha + \beta)} \end{array} \right\} \quad \boxed{ y(x,t) = 2A_0 \sin{(kx)} \cos{(\omega t)} }

y(x,t) = 2 A_0 \sin{(kx)} \cos{(\omega t)} \left\{ \begin{array}{l} y(x,t) = A(x)\cos{(\omega t)} \\ A(x) = 2 A_0 \sin{(kx)} \end{array} \right.

Nodes (amplitud nul·la): \left. \begin{array}{r} A(x) = 2A_0 \sin{kx} = 0 \quad \Rightarrow \quad \sin{(kx)} = 0 \quad \Rightarrow \quad kx = n \pi \\ k = \frac{2\pi}{\lambda} \end{array} \right\} \quad \frac{2\pi}{\lambda} x = n \pi \quad \Rightarrow \quad \boxed{ x = n \frac{\lambda}{2} }
Ventres o antinodes (amplitud màxima): \left. \begin{array}{r} A(x) = 2A_0 \sin{kx} = 2 A_0 \quad \Rightarrow \quad \sin{(kx)} = 1 \quad \Rightarrow \quad kx = (2n+1)\frac{\pi}{2} \\ k = \frac{2\pi}{\lambda} \end{array} \right\} \quad \frac{2\pi}{\lambda} x = (2n+1)\frac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad \boxed{ x = (2n+1)\frac{\lambda}{4} }

extrems	exemple	longitud d'ona dels harmònics	freqüències de ressonància
fix-fix	instrument musical de corda	L = n \frac{\lambda}{2} \; \Rightarrow \; \boxed{ \lambda_n = \frac{2L}{n} } \quad n = 1,2,3... (esquema)	\boxed{ f_n = \frac{V}{2L}n } \quad n = 1,2,3...
fix-lliure	instrument musical de vent	L = n \frac{\lambda}{4} \; \Rightarrow \boxed{ \lambda_n = \frac{4L}{n} } \quad n = 1,3,5... (esquema)	\boxed{ f_n = \frac{V}{4L}n } \quad n = 1,3,5...
lliure-lliure	alguns orgues	L = n \frac{\lambda}{2} \; \Rightarrow \; \boxed{ \lambda_n = \frac{2L}{n} } \quad n = 1,2,3... (esquema)	\boxed{ f_n = \frac{V}{2L}n } \quad n = 1,2,3...

ona de pressió longitudinal
velocitat del so en un gas: v = \sqrt{\frac{\gamma p}{\rho}} on:
- \gamma: constant adiabàtica del gas
- p: pressió
- \rho:densitat del gas
v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}} per a l'aire a 20C: v=340m/s
so complex
- to: freqüència del primer harmònic
- sobretons: freqüències dels harmònics superiors
- timbre: espectre de freqüències

energia del moviment ondulatori

Energia del moviment ondulatori

considerem dues superfícies esfèriques concèntriques S1 i S2, de radis r1, r2,
definides per dos fronts d'ona d'una ona esfèrica.
L'energia que arriba a la superfície S1 es transmet íntegrament a l'a superfície R2:

\left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} E = E_{c\;max} = \frac{1}{2}m v^2_{max} \\ v_{max} = A \omega \end{array} \right\} \; E = \frac{1}{2}m(A\omega)^2 \\ \omega = 2\pi f \end{array} \right\} \; E = \frac{1}{2}m (2\pi f)^2 = 2m\pi^2f^2A^2 \\ \text{intensitat d'energia transmesa:} \quad I = \frac{P}{S} \; \Rightarrow \; \boxed{I = \frac{E}{S \Delta t}} \end{array} \right\} \; I = \frac{2m\pi^2f^2A^2}{S\Delta t} \\ v = \frac{\Delta r}{\Delta t} \; \Rightarrow \; \Delta t = \frac{\Delta r}{v} \end{array} \right\} I = \frac{2m\pi^2f^2A^2}{S\frac{\Delta r}{v}} = \frac{2m\pi^2vf^2A^2}{S\Delta r} = \frac{2m\pi^2vf^2A^2}{V} \;\Rightarrow\; \boxed{ I = 2 \pi^2 \rho v f^2 A^2 }

\left. \begin{array}{r} E_1 = E_2 \; \Rightarrow \; \frac{E_1}{\Delta t} = \frac{E_2}{\Delta t} \; \Rightarrow \; P_1 = P_2 \; \Rightarrow \; I_1 S_1 = I_2 S_2 \; \Rightarrow \; I_1 4\pi r_1^2 = I_2 4\pi r_2^2 \; \Rightarrow \; \frac{I_1}{I_2} = \frac{r_2^2}{r_1^2} \\ \left. \begin{array}{r} I_1 = 2\pi^2\rho v f^2 A_1^2 \\ I_2 = 2\pi^2\rho v f^2 A_2^2 \end{array} \right\} \; \frac{I_1}{I_2} =\frac{A_1^2}{A_2^2} \end{array} \right\} \; \boxed{ \frac{A_1}{A_2} = \frac{r_2}{r_1} }

nivell d'intensitat sonora B [dB]

definició	exemples
\boxed{ B = 10 \,\log{\frac{I}{I_0}} } \quad \text{[dB]} on: intensitat llindar que es pot percebre: I_0 =10^{-12} \text{W/m}^2	mínima (quan I = 10^{-12} \text{W/m}^2): B = 10 \, \log{\frac{10^{-12}}{10^{-12}}} = 0 \,\text{dB} llindar de dolor (quan I = 1 \text{W/m}^2): B = 10 \, \log{\frac{1}{10^{-12}}} = 120 \,\text{dB}

Dinàmica (forces)

Lleis de Newton:

	expressades segons:
	acceleració: \vec{a} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}	quantitat de moviment o moment lineal / Momentum: \vec{p} = m \vec{v}	impuls [N·s]: \vec{I} = \vec{F} \Delta t = \int_{t_0}^{t} \vec{F} dt
Primera: principi d'inèrcia	\sum_{i} \vec{F}_{i} = 0 \leftrightarrow \vec{a} = 0 \leftrightarrow \vec{v} = C	\sum_{i} \vec{F}_{i} = 0 \leftrightarrow \Delta \vec{p} = 0 \leftrightarrow \vec{p} = C
Segona: principi fonamental de la dinàmica	\sum_{i} \vec{F}_{i} = m \vec{a}	Principi fonamental de la dinàmica: \sum_{i} \vec{F}_{i} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta{t}} = \frac{d\vec{p}}{dt}	Teorema de l'impuls mecànic:\vec{I} = \Delta \vec{p}
Tercera: principi d'acció-reacció		Principi de la conservació de la quantitat de moviment (Noether): si no hi ha forces externes, la quantitat de moviment total es manté constant \vec{p}_{T} = \sum_{i} \vec{p}_{i} = C\sum_{i} \Delta \vec{p}_{i} = 0

Energia i potència

Força [N]	Treball [J]		Potència [W] (1 CV = 736 W)
Llei de Newton:\vec{F} = m \vec{a}	W = \vec{F} · \Delta \vec{x} = F · \Delta x · \cos{\alpha}W = \vec{F} \cdot \Delta \vec{r} si la força no és constant (p.ex. en camps no uniformes): W = \int_{\vec{r_a}}^{\vec{r_b}} \vec{F} \cdot d\vec{r}(àrea sota la funció força, delimitada pels punts a i b)		P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = \frac{dW}{dt}P = \Gamma \href{#velocitat_angular}{\omega}(\Gamma: parell motor; \omega: velocitat angular)
	Teorema del treball i l'energia:W = \Delta E_c W_{\text{sistema}} = - \Delta E_p W_{\text{exterior}} = \Delta E_p
	Energia (J) capacitat d'un cos de realitzar un treball
\vec{F} = m \vec{a}	Energia cinètica:E_c = \frac{1}{2} m v^2	Energia mecànica:E_m = E_c + E_p
Força gravitatòria:\vec{F} = m \vec{g}	Energia potencial gravitatòria:E_{pg} = mgh
Llei de Hooke:\vec{F} = k \vec{\Delta x} Equació diferencial MHS	Energia potencial elàstica:E_{pe} = \frac{1}{2} k (\Delta x)^2
	Energia potencial elèctrica
Força de fregament estàtic: F_{fe} =\mu_e N Força de fregament dinàmic: F_{fd} =\mu_d N
	E =m c^2 Energia cinètica relativista: E_c = m c^2 - m_0 c^2 m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}

Energia cinètica: treball necessari perquè el cos adquireixi una velocitat constant a partir del repòs \left. \begin{array}{r} E_c = W = F·\Delta x · \cos(\alpha) \\ F = m a \\ \href{#posicio}{\Delta x} = \frac{1}{2} a (\Delta t)^2 \end{array} \right\} \Rightarrow \quad E_c = m a · \frac{1}{2} a (\Delta t)^2 = \frac{1}{2} m (a \Delta t)^2 = \frac{1}{2} m v^2

Conservació de l'energia (Noether)

...

camp conservatiu	el treball realitzat per les forces d'un camp conservatiu només depèn de les posicions inicial i final: W_{\text{cicle}} = \oint \vec{F} \cdot d\vec{r} = 0	Conservació de l'energia mecànica per a forces conservatives: \left . \begin{aligned} W &= \Delta E_c \\ W &= - \Delta E_p \end{aligned} \right\} \Rightarrow \quad \Delta E_c = - \Delta E_p \quad \Rightarrow \quad \Delta E_c + \Delta E_p = 0 L'energia mecànica es manté constant: \boxed{\Delta E = 0}	Força gravitatòria: \left. \begin{aligned} E_p &= mgh \\ E_c &= \frac{1}{2} m v^2 \end{aligned} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} v_f &= \sqrt{2gh} \\ h_0 &= \frac{v_f^2}{2g} \end{aligned} \right.
			Força elàstica: \left. \begin{aligned} E_p &= \frac{1}{2} k x^2\\ E_c &= \frac{1}{2} m v^2 \end{aligned} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} v &= x \sqrt{\frac{k}{m}} \\ x &= v \sqrt{\frac{m}{k}} \end{aligned} \right.
camp no conservatiu		Variació de l'energia mecànica quan actuen forces no conservatives \left . \begin{aligned} W &= \Delta E_c \\ W &= - \Delta E_p + W_{fnc} \end{aligned} \right\} \Rightarrow \quad \Delta E_c = - \Delta E_p + W_{fnc} \quad \Rightarrow \quad \Delta E_c + \Delta E_p = W_{fnc} El treball realitzat per forces no conservatives és igual a la variació de l'energia mecànica: \boxed{\Delta E = W_{fnc}}	Termodinàmica: principi zero Q = c·m·\Delta T primer principi: \Delta U = Q - W segon principi tercer principi
			Força de fregament
			Força externa

Xocs

Principi de la conservació de la quantitat de moviment

...

	situació dels cossos després del xoc	coeficient de restitució: k = \frac{-(v_1' - v_2')}{v_1 - v_2}	quantitat de moviment: p = m \vec{v}	energia cinètica	exemples
xoc elàstic: els cossos només es deformen durant la interacció	lliures	k = 1	es conserva: m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{v_2} = m_1 \vec{v_1'} + m_2 \vec{v_2'} m_1 (\vec{v_1} - \vec{v_1'}) = m_2 (\vec{v_2'} - \vec{v_2})	es conserva: \frac{1}{2} m_1 \vec{v_1}^2 + \frac{1}{2} m_2 \vec{v_2}^2 = \frac{1}{2} m_1 \vec{v_1'}^{2} + \frac{1}{2} m_2 \vec{v_2'}^{2} m_1 (\vec{v_1}^2 - \vec{v_1'}^{2}) = m_2 (\vec{v_2'}^{2} - \vec{v_2}^2) tenint en compte la conservació de la quantitat de moviment: \boxed{\vec{v_1} + \vec{v_1'} = \vec{v_2} + \vec{v_2'}}	partícules elementals boles rígides
xoc inelàstic: una part de l'energia es perd en calor i deformació	lliures	0 < k < 1		no es conserva
xoc perfectament inelàstic	units	k = 0		no es conserva	projectil incrustat pèndul balístic

Engranatges

U2 Mecanismes de transmissió de moviment

relació de transmissió mitjançant diversos engranatges de z dents:

relació de transmissió (i: incial, f: final)	velocitat angular	parell motor\Gamma = F·r(N·m)	potènciaP = \Gamma \omega
i_{i\rightarrow f} = r_t = \frac{\prod_{impulsores}z_{j}}{\prod_{impulsades}z_{k}} = \frac{\omega_f}{\omega_i} =\frac{\Gamma_i}{\Gamma_f}	\omega_f = \omega_i i_{i\rightarrow f}	\Gamma_f = \frac{\Gamma_i}{i_{i\rightarrow f}}	P_f = \eta P_i

Camps

Classificació dels camps físics:

camp escalar					temperatura pressió densitat ...
camp vectorial	velocitats acceleracions
	forces	camp conservatiu	camp uniforme: intensitat de camp constant (línies de camp paral·leles i equidistants)
			camp central (forces dirigides cap a un punt)	newtonià (inversament proporcional al quadrat de la distància)	gravitatori elèctric
			camp central (forces dirigides cap a un punt)	no newtonià
		camp no conservatiu			magnètic

Camps

vector

escalar

camp

força = magnitud · intensitat

\vec{\text{intensitat del camp de forces}} = \frac{\vec{\text{Força}}}{\text{magnitud física de la partícula}}

potencial

energia potencial = magnitud · potencial
(energia del sistema de la qual podem disposar per a fer un treball)

gravitatori

Llei de gravitació universal (Newton)\boxed{\vec{F} = -G \frac{m m'}{r^2} \vec{u}}on:

el signe negatiu indica que la força és sempre d'atracció
\vec{F}: força que actua sobre m' a causa de la massa m
\vec{u}: vector unitari que va de m cap a m' (oposat al sentit de la força)
parell d'acció-reacció: \vec{F}_{12} = - \vec{F}_{21}
constant de la gravitació universal: G = 6,67·10^{-11}\:\text{N·m²/kg²}

per a la Terra:

M_T = 5,98·10^24\:\text{kg}
R_T = 6,38·10^6\:\text{m}

Relació amb el camp gravitarori: \boxed{ \vec{F} = m \vec{g} }

Intensitat de camp gravitatori (N/kg): \vec{g} = \frac{\vec{F}}{m'}

\boxed{\vec{g} = -G \frac{m}{r^2} \vec{u}}

A la superfície de la Terra: \vec{g}_0 = 9,8\:\text{m/s²}

Relació entre el camp gravitatori i el potencial: \left. \begin{array}{r} \Delta E_p = -W \Rightarrow dE_p = - \vec{F} \cdot d\vec{r} \Rightarrow \frac{dE_p}{m} = - \frac{\vec{F} \cdot d\vec{r}}{m}\\ E_p = m V \Rightarrow \frac{dE_p}{m} = dV \\ \frac{\vec{F}}{m} = \vec{g} \end{array} \right\} \Rightarrow dV = - \vec{g} \cdot d\vec{r}
en mòdul: \boxed{g = -\frac{dV}{dx}}

La intensitat de camp gravitatori té el sentit en què el potencial disminueix. Per tant:

una massa lliure m' es desplaça en el mateix sentit del camp gravitatori i cap a potencials més petits (encara més negatius)

Potencial gravitatori d'una massa puntual m en un punt A:
treball, canviat de signe, realitzat per la força gravitatòria que efectua
la massa m per a desplaçar una altra massa de prova d'1 kg des de l'infinit fins a A \boxed{V_A = - W_{\infty \to A}}

V_{\infty} = 0

V_A = - W_{\infty \to A} = - \int_{\infty}^{r_{A}} \vec{F} \cdot d\vec{r}= - \int_{\infty}^{r_{A}} -G \frac{m·1}{r^2} \vec{u} \cdot d\vec{r} = -G \frac{m}{r_A}

\boxed{V = -G \frac{m}{r}}

Potencial gravitatori generat
per una massa m

Energia potencial gravitatòria (sempre negativa): treball efectuat per la força gravitatòria
per moure una massa m' des de l'infinit fins a A E_{pA} =m' V_A

\boxed{E_p = -G \frac{mm'}{r}}

Si la mateixa força gravitatòria mou una massa des d'un punt inicial (lluny) a un final (a prop), el treball, fet pel sistema, és positiu: W_{\text{sistema}} = -m' \Delta V= -m'(V_f - V_i) = - (E_{pf} - E_{pi}) = - \Delta E_p > 0
Si unes forces externes, oposades a la força gravitatòria, han de moure una massa des d'un punt inicial (a prop) a un punt final (lluny), el treball, fet per les forces externes, és negatiu: W_{\text{forces externes}} = m' \Delta V = m'(V_f - V_i) = (E_{pf} - E_{pi}) = \Delta E_p < 0

		W_sistema	W_{forces_externes}
m' es desplaça en el sentit de l'atracció	ΔE_p<0	>0	<0
m' es desplaça en el sentit oposat a l'atracció	ΔE_p>0	<0	>0

Conservació de l'energia, per ser un camp conservatiu: \Delta E_c + \Delta E_p = 0

Velocitat d'escapament: des de la superfície de la Terra fins a l'infinit,
on l'energia potencial és nul·la i hi ha d'arribar amb velocitat nul·la \left. \begin{array}{r} \text{a la superfície de la Terra:}\: E = E_c + E_p\\ \text{a l'infinit:}\:E' = E_c' + E_p' = 0 + 0 = 0 \end{array} \right\} \Rightarrow \frac{1}{2} m v_0^2 - G \frac{mM_T}{R_T} = 0 \Rightarrow v_0 = \sqrt{\frac{2GM_T}{R_T}}

Velocitat i energia mecànica d'un satèl·lit de massa m que gira al voltant d'un cos de massa M, a una distància r: \left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} \sum{F} = F_g = G \frac{Mm}{r^2} \\ \href{#moviment_circular}{\text{acceleració normal constant (moviment circular):}}\quad \href{#acceleracio_normal}{a_n} = \frac{v^2}{r} \end{array} \right\} \sum{F} = ma \Rightarrow G \frac{Mm}{r^2} = m\frac{v^2}{r} \Rightarrow \boxed{v = \sqrt{\frac{GM}{r}}} \\ E_c = \frac{1}{2}m v^2 \end{array} \right\} E_c = \frac{1}{2} G \frac{Mm}{r} \\ E_p = - G \frac{Mm}{r} \end{array} \right\} E = E_c + E_p = - \frac{1}{2} G \frac{Mm}{r}

elèctric

Llei de Coulomb: \boxed{\vec{F_e} = K \frac{QQ'}{r^2}\vec{u}} on:

Q és la càrrega, expressada en coulombs (C)
1C és la càrrega de 6,24·10¹⁸ electrons
1 electró té una càrrega de 1,602·10^-19 C
constant elèctrica K=\frac{1}{4\pi\epsilon}, on \epsilon és la permitivitat del medi (en el buit: K=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}=9·10^9 \frac{\text{N·m²}}{\text{C²}})
permitivitat relativa: \epsilon_r = \frac{\epsilon}{\epsilon_0}
si les càrregues:
- tenen el mateix signe, la força és repulsiva
- tenen signe oposat, la força és atractiva

Relació amb el camp elèctric: \boxed{ \vec{F_e} = Q \vec{E} }

Intensitat de camp elèctric (N/C): \vec{E} = \frac{\vec{F}}{Q'}

\boxed{\vec{E} = K \frac{Q}{r^2}\vec{u}}

Com que considerem que Q' és positiva, quan:

la càrrega Q és positiva, les línies del camp surten de la càrrega
la càrrega Q és negativa, les línies del camp entren cap a la càrrega

Si la càrrega és no puntual i contínua:

\vec{E} = \int K \frac{dQ}{r^2}\vec{u} = \int_{V'}K \frac{\rho dV'}{r^2}\vec{u}

Relació entre el camp elèctric i el potencial:

\left. \begin{array}{r} \Delta E_p = -W \Rightarrow dE_p = - \vec{F} \cdot d\vec{r} \Rightarrow \frac{dE_p}{Q} = - \frac{\vec{F} \cdot d\vec{r}}{Q}\\ E_p = Q V \Rightarrow \frac{dE_p}{Q} = dV \\ \frac{\vec{F}}{Q} = \vec{E} \end{array} \right\} \Rightarrow dV = - \vec{E} \cdot d\vec{r}

en mòdul: \boxed{E = -\frac{dV}{dx}}
si el camp elèctric és constant:

E = - \frac{\Delta V}{\Delta x}

\Delta V = -E \Delta x La intensitat de camp elèctric té el sentit en què el potencial disminueix. Per tant:

una càrrega positiva lliure es desplaça en el mateix sentit del camp elèctric i cap a potencials més petits
una càrrega negativa lliure es desplaça en sentit contrari al camp elèctric i cap a potencials més grans

Potencial elèctric (volt: V) d'una càrrega puntual Q en un punt A:
treball, canviat de signe, que realitza la força elèctrica efectuada per la càrrega Q quan desplaça una altra càrrega puntual de +1 C des de l'infinit fins a A

V_A = -W_{\infty \rightarrow A}

V_{\infty} = 0

V_A = -W_{\infty \rightarrow A} = - \int_{\infty}^{r_A} K \frac{Q·1}{r^2}\vec{u} \cdot d\vec{r} = -KQ \left[ \frac{-1}{r} \right]_{\infty}^{r_A} = K \frac{Q}{r_A}

\boxed{V=K\frac{Q}{r}}

Potencial elèctric càrrega negativa — Potencial elèctric creat per
una càrrega negativa

Potencial elèctric càrrega positiva — Potencial elèctric creat per
una càrrega positiva

Diferència de potencial entre dos punts A i B: treball, canviat de signe, realitzat per la força elèctrica per desplaçar una càrrega punual de +1 C des de B fins a A: \Delta V = V_A - V_B = -W_{B \rightarrow A}

Energia potencial elèctrica: treball, canviat de signe, per desplaçar una càrrega Q' des de l'infinit fins a A

E_{pA} = Q' V_A

\boxed{E_p = K \frac{QQ'}{r}}

Si l'energia potencial és:

negativa, les forces són atractives; el sistema és estable
positiva, les forces són repulsives; el sistema és inestable

El treball realitzat pel sistema, quan dues càrregues molt separades s'apropen:
W_{\text{sistema}} = -\Delta E_p = - (E_{pA}-E_{p\infty}) = -(E_{pA}-0) = - E_{pA} = -K \frac{QQ'}{r} (donades dues càrregues de signe oposat, si es volen apropar, no cal fer res, ho farà el sistema, perquè es va des d'un potencial més alt, negatiu o zero, a un potencial més baix, encara més negatiu)
El treball fet per les forces externes és: W_{\text{forces externes}} = \Delta E_p = K \frac{QQ'}{r} (donades dues càrregues del mateix signe, si es volen apropar, caldrà que unes forces externes facin un treball positiu, perquè es va des d'un potencial més baix, positiu, a un potencial més alt, encara més positiu)

Variació de l'energia potencial del sistema: treball, canviat de signe, per desplaçar una càrrega Q' des d'un punt A fins a un punt B, en presència d'una càrrega Q

W = -\Delta E_p = -(E_{pB}-E_{pA}) = -(Q'V_B - Q'V_A) = -Q'(V_B-V_A) = -Q'\Delta V

		W_sistema	W_{forces_externes}
les càrregues es mouen per la força elèctrica	ΔE_p<0	>0	<0
les forces externes actuen de forma oposada a la força elèctrica, per a poder moure les càrregues	ΔE_p>0	<0	>0

Conservació de l'energia, per ser un camp conservatiu

\Delta E = \Delta E_c + \Delta E_p = 0

Energia mecànica d'un electró (-e) que gira al voltant d'un protó (+e): \left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} \sum{F} = F_e = K \frac{e^2}{r^2} \\ a_t = \frac{v^2}{r} \end{array} \right\} \sum{F} = m·a \Rightarrow K\frac{e^2}{r^2} = m \frac{v^2}{r} \Rightarrow K\frac{e^2}{r} = mv^2\\ E_c = \frac{1}{2}mv^2 \end{array} \right\} E_c = \frac{1}{2} K \frac{e^2}{r}\\ E_p = -K \frac{e^2}{r} \end{array} \right\} E = E_p + E_c = -\frac{1}{2} K\frac{e^2}{r}

Electronvolt (eV): energia cinètica que adquireix un electró quan supera una diferència de potencial d'1 V 1 \text{eV} = q_e \DeltaV = 1,602·10^{-19} \text{C} · 1 \text{V} = 1,602·10^{-19} \text{J}

magnètic

Força de Lorentz sobre una càrrega amb velocitat v dins d'un camp magnètic:

\boxed{\vec{F_m} = Q (\vec{v} \times \vec{B})}

mòdul (producte vectorial): \boxed{F = |Q| v B \sin{(\alpha)}}
direcció i sentit: segons la regla de la mà dreta
- per a una càrrega positiva, polze perpendicular al pla format per \vec{v} i \vec{B}
- dits en el sentit de l'angle més petit des de \vec{v} fins a \vec{B}
la força és nul·la quan:
- la càrrega es mou segons les línies del camp \vec{B}, perquè \sin{0}=0
- la càrrega està en repòs

En presència d'un camp magnètic constant, la força sobre:

... exercida sobre

en presència d'un camp magnètic constant, la força ...

conductor rectilini

\left. \begin{array}{r} v = \frac{\Delta l}{\Delta t} \\ I = \frac{\Delta Q}{\Delta t} \Rightarrow \Delta Q = I \Delta t \\ \Delta F = \Delta Q v b \sin{\alpha} \end{array} \right\} \Delta F = I \Delta t \frac{\Delta l}{\Delta t} B \sin{\alpha} = I \Delta l B \sin{\alpha}

\sum_{i=1}^{n} F_i = I \sum_{i=1}^{n} \Delta l_i B \sin{\alpha}

\boxed{ \vec{F}_{\text{total}} = I (\vec{l} \times \vec{B}) }

espira

Llei de Laplace: el parell de forces dels trams perpendiculars al camp magnètic faran que l'espira giri fins a col·locar-se en paral·lel amb el camp magnètic

mòdul: \boxed{F = BLI \sin{\varphi}}
direcció segons la regla de la mà esquerra (esquema):
- F: polze
- B: índex
- I: mig

Aplicacions:

motor elèctric (*)

Forces entre dos conductors paral·lels infinits:
cada conductor crea un camp magnètic i crea una força sobre l'altre conductor

\left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} B_1 = \mu_0 \frac{I_1}{2\pi d} \\ F_2 = I_2 l B_1 \sin{90^\circ} \end{array} \right\} F_2 = \mu_0 \frac{I_1 I_2 l}{2 \pi d} \\ \left. \begin{array}{r} B_2 = \mu_0 \frac{I_2}{2\pi d} \\ F_1 = I_1 l B_2 \sin{90^\circ} \end{array} \right\} F_1 = \mu_0 \frac{I_1 I_2 l}{2\pi d} \end{array} \right\}

Si els corrents tenen:

el mateix sentit: els conductors s'atreuen
sentit contrari: els conductors es repel·leixen

Definició d'ampere: si per dos conductors rectilinis i paral·lels, separats per un metre de distància, passen dos corrents amb la mateixa intensitat i la força per unitat de longitud sobre cada conductor és de 2·10^-7 N/m, diem que per cada conductor circula un corrent d'un ampere.

\frac{F_1}{l} = \frac{F_2}{l} = \mu_0 \frac{I_1 I_2}{2 \pi d} = \frac{4 \pi 10^{-7}·1\text{A}·1\text{A}}{2\pi · 1 \text{m}} = 2·10^{-7} \text{N/m}

Intensitat de camp magnètic (inducció) (Tesla T; Gauss G) (1 T = 10⁴ G):

\vec{B}

Les línies del camp magnètic:

surten del pol N
entren al pol S

El moviment d'un electró al voltant del nucli genera un camp magnètic.

Moment dipolar magnètic d'una espira o un electró:
\boxed{\vec{m} = I \vec{S}} on:

I: intensitat de corrent elèctric
\vec{S}: vector superfície, perpendicular al pla de l'espira, amb el sentit de la regla de la mà dreta, com si fossin les càrregues positives les que creen el corrent (en realitat és al revés) i tenen una velocitat
el camp B creat té la mateixa direcció i sentit que el moment dipolar magnètic

Camp magnètic creat per un corrent elèctric:

Ørsted: un corrent elèctric (càrregues en moviment) crea un camp magnètic
(El Experimento de Oersted: Procedimientos)
Tota càrrega en moviment crea un camp magnètic.
El moviment d'un electró al voltant del nucli genera un camp magnètic.
Una espira de corrent es comporta com un imant.

... creat per	camp magnètic ...
un diferencial de conductor, a qualsevol punt	Llei de Biot-Savart: d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I·d\vec{l}\times\vec{u}_r}{r^2}
conductor rectilini infinit	Camp magnètic creat per un conductor rectilini Llei d'Ampère: \boxed{B = \mu \frac{I}{2 \pi r}} on: r: distància al conductor
una espira amb corrent	Camp magnètic creat per una espira amb corrent Al centre de l'espira: \left. \begin{array}{r} B = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{I·dl}{R^2} \\ \int dl = 2\pi R \end{array} \right\} \boxed{B = \mu \frac{I}{2R}} on: R: radi de l'espira
un solenoide (bobina), que pot tenir un nucli ferromagnètic que crearà un camp magnètic que se suma al de la bobina (electroimant)	\left. \begin{array}{r} B = \mu \frac{NI}{L} \\ n = \frac{N}{L} \end{array} \right\} B = \mu n I on: N: nombre d'espires L: longitud del solenoide n: densitat d'espires

on:

\mu: permeabilitat magnètica del medi (Tm/A)
- aire: \mu_0 = 4\pi·10^{-7} \text{Tm/A}
- permeabilitat relativa: \mu_r = \frac{\mu}{\mu_0}

Davant d'un camp magnètic extern, segons el grau d'imantació, un material pot ser:

diamagnètic (\mu_r<1): s'indueix un moment dipolar magnètic molt feble, de sentit contrari. P.ex.: bismut, coure, diamant, or, zenc, plata, mercuri, aigua
paramagnètic (\mu_r \approx 1): els àtoms s'arrengleren de manera feble. P.ex.: alumini, titani, tungstè, estany, crom, oxigen
ferromagnètic (\mu_r > 1): s'indueix un arrenglerament molt alt i poden quedar imantats. P.ex.: ferro pur, cobalt, níquel, neodimi, aliatges d'aquests materials (acer, ...)

Components de la inducció B (efecte):

permeabilitat µ: depèn del material que sustenta el camp magnètic
intensitat o excitació del camp magnètic H (causa): depèn exclusivament de les característiques del circuit que crea el camp: H = \frac{B}{\mu} \boxed{H = \frac{NI}{L} (\text{A/m})} La gràfica B(H) és lineal al voltant de l'origen, però després s'aplana (saturació)

Força magnetomotriu (A) d'un circuit magnètic homogeni:
\mathrm{FMM} = NI = H l_m si el circuit és heterogeni:
\sum \mathrm{FMM} = \sum N_i I_i = \sum H_i l_{mi} on:

l_m: longitud mitjana del circuit

Flux del camp magnètic (weber, Wb):

\boxed{ \Phi = \vec{B} \cdot \vec{S} }

en mòdul (producte escalar): \Phi = B S \cos \varphi
ens indica la quantitat de línies de camp que travessen una superfície
si el camp magnètic no és uniforme:
\Phi = \int \vec{B} \cdot \vec{S}

FEM (força electromotriu) induïda (volts, V), creada en un conductor que es mou dins d'un camp magnètic:

FEM induïda en un conductor rectilini — Forces dins d'un conductor

\left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} \vec{F}_m = Q(\vec{v}\times \vec{B}) \\ \vec{F}_e = Q \vec{E} \end{array} \right\} \text{en equilibri:}\quad \vec{F}_m + \vec{F}_e = 0 \quad \Rightarrow \quad E = v B \sin{\alpha} \\ \Delta V = \mathcal{E} = El \end{array} \right\} \boxed{\mathcal{E} = v B l \sin{\alpha}}

on:

B: inducció (T)
v: velocitat (m/s)
l: longitud del conductor (m)
\alpha: angle que forma \vec{v} amb \vec{B}

Sentit del corrent induït, segons la regla de la mà dreta:

índex: camp magnètic
polze: moviment
mig: corrent

Llei de Faraday: la FEM induïda en un circuit tancat és directament proprcional a la variació de flux magnètic que travessa la superfície definida pel circuit respecte el temps

Variació flux en una espira — Conductor rectilini mòbil formant una espira

\left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} \Delta \href{#flux_camp_magnetic}{\Phi} = B · \Delta S \\ \Delta S = l · v\Delta t \end{array} \right\} \Delta \Phi = B (l v \Delta t) \Rightarrow \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = Bvl \\ \href{#fem_induida}{\mathcal{E}} = Bvl \sin{\frac{\pi}{2}} = Bvl \end{array} \right\} \boxed{ \mathcal{E} = \frac{\Delta\Phi}{\Delta t}}

Llei de Faraday-Lenz: la FEM induïda en un circuit tancat és directament proporcional a la variació respecte el temps del flux magnètic que travessa la superfície definida pel circuit, de manera que el sentit del corrent induït és que dóna un efecte que s'oposa a la causa que el produeix.

\mathcal{E} = - \frac{\Delta\Phi}{\Delta t}

\boxed{\mathcal{E} = - \frac{d\Phi}{d t}}

el sentit del corrent induït és tal que s'oposa a la causa que el produeix;
el flux creat per un corrent induït té un sentit que s'oposa a la variació del flux que el crea
el corrent serà més intens com més ràpides siguin les variacions de flux magnètic.

Lenz: imant s'apropa — Un imant s'apropa
a una espira

FEM alterna induïda en una espira que gira dins d'un camp magnètic uniforme:

\left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} \Phi(t) = BS \cos \varphi \\ \varphi = \omega t \end{array} \right\} \Phi(t) = BS \cos{(\omega t)} \\ \mathcal{E} = - \frac{d \Phi}{dt} \end{array} \right\} \boxed{ \mathcal{E}(t) = BS \omega \sin{(\omega t)}} \left\{ \begin{array}{l} \mathcal{E}(t) = \mathcal{E}_{0} \sin{(\omega t)} \\ \mathcal{E}_{0} = \mathcal{E}_{\text{màx}} = \Phi_{\text{màx}} \omega = BS \omega = BS 2\pi f \end{array} \right.

Per a N espires:

\mathcal{E} = - N \frac{d\Phi}{dt} = N \Phi_{\text{màx}} \omega \sin{(\omega t)}

(esquema)
Aplicacions (el moviment de l'espira és provocat per una energia externa):

alternador: la polaritat va alternant; es genera corrent altern
dinamo: sempre la mateixa polaritat

Autoinducció: si el corrent que circula per un conductor varia, crearà un camp magnètic de flux variable.
El conductor quedarà sotmès a la variació del propi flux i crearà una FEM induïda, anomenada FEM autoinduïda (\epsilon_a) .

segons la llei de Lenz, el sentit de la FEM autoinduïda és contrari a la causa que el produeix; s'oposa a les variacions de corrent
el paràmetre que relaciona \epsilon_a amb les variacions de corrent és el coeficient d'autoinducció del circuit: autoinducció L

Corrents de Foucault: corrents circulars induïts dins d'un conductor (per exemple, una placa) quan és sotmès a un camp magnètic variable.

aquests corrents creen camps magnètics que s'oposen al camp original i provoquen forces repulsives
pèrdues per calor degut a l'efecte Joule
els corrents de Foucault sobre els materials conductors que no formen part del circuit es poden reduir si es laminen els materials i se separen amb aïllant
aplicacions:
- levitació
- esmorteir oscil·lacions en balances mecàniques
- frenada de trens magnètics
- cuines d'inducció

Transformador

\left. \begin{array}{r} \Phi_{\text{primari}} = \Phi_{\text{secundari}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\Phi_p}{dt} = \frac{d\Phi_s}{dt} \\ \href{#llei_faraday_lenz}{\text{Faraday:}}\quad \mathcal{E} = - N \frac{d\Phi}{dt} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\Phi}{dt} = - \frac{\mathcal{E}}{N} \end{array} \right\} \quad \frac{\mathcal{E}_p}{n_p} = \frac{\mathcal{E}_s}{n_s} \quad\Rightarrow\quad \boxed{ \frac{\mathcal{E}_p}{\mathcal{E}_s} = \frac{n_p}{n_s} }

Treball: l'energia cinètica de les càrregues no queda alterada per la presència de camps magnètics i es manté constant; els camps només afecten la direcció de la velocitat: la càrrega descriu un moviment circular

\left. \begin{array}{r} \vec{F} \perp \Delta \vec{r} \Rightarrow W = 0 \\ W = \Delta E_c \end{array} \right\} \Rightarrow \Delta E_c = 0 \Rightarrow \Delta V = 0 \Rightarrow v = C

Moviment d'una càrrega dins d'un camp magnètic

Energia cinètica d'una càrrega en moviment dins d'un camp magnètic:

\left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} \sum{F} = F_m = |Q|vB \\ a_t = \frac{v^2}{r} \end{array} \right\} \sum{F} = ma \Rightarrow |Q|vB = m\frac{v^2}{R} \Rightarrow \boxed{ R = \frac{mv}{|Q|B} = \frac{p}{|Q|B} } \Rightarrow v = \frac{R|Q|B}{m} \\ E_c = \frac{1}{2} m v^2 \end{array} \right\} E_c = \frac{(QBR)^2}{m}

Freqüència del moviment circular (no depèn de la velocitat de la partícula):

\left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} R = \frac{mv}{|Q|B} \\ \omega = \frac{v}{R} \end{array} \right\} \omega = \frac{|Q|B}{m} \\ f = \frac{\omega}{2\pi} \end{array} \right\} f = \frac{|Q|B}{2\pi m}

Si una partícula entra en un camp magnètic amb una velocitat amb components paral·lel i perpendicular \vec{v} = \vec{v}_{\parallel} + \vec{v}_{\perp} només la component perpendicular es veurà afectada pel camp magnètic; descriurà un moviment helicoidal de radi: R = \frac{mv_{\perp}}{|Q|B} = \frac{mv\sin\alpha}{|Q|B}

En el camp magnètic terrestre, algunes partícules carregades que provenen de l'exterior queden atrapades al cinturó de Van Allen, com si fos una ampolla magnètica.

Aplicacions:

selector de velocitats
- camp elèctric + camp magnètic: v = \frac{E}{B}
espectròmetre de masses
- selector de velocitats + camp magnètic + plaques fotogràfiques

ciclotró

velocitat	energia cinètica
v = \frac{R \|Q\| B}{m}	E_c = \frac{(R\|Q\|B)^2}{2m}

Equacions de Maxwell

funció similar a la d'una ona mecànica transversal, però el que oscil·la és un camp elèctric perpendicular a un camp magnètic oscil·lant, en la mateixa fase (esquema)
el camp magnètic es propaga per l'espai en forma d'ones electromagnètiques, generades per càrregues elèctriques accelerades
com totes les ones, transmeten quantitat de moviment i una energia que augmenta amb la freqüència
Info

	forma diferencial	forma integral	paràmetres	interpretació
Llei de Gauss	\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}	\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{q}{\epsilon_0}	\mathbf{E}: camp elèctric \rho: \epsilon_0: permitivitat elèctrica del buit	divergència ...
Llei de Gauss per al magnetisme	\nabla \cdot \mathbf{B} = 0	\oint_S \vec{B} \cdot d\vec{S} = 0	\mathbf{B}: camp magnètic	divergència ...
Llei de la inducció de Faraday - Lenz	\href{matematiques.html#rotacional}{\nabla \times} \href{#camp_electric}{\mathbf{E}} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}	\oint_l \vec{E} \cdot d\vec{l} = - \frac{d}{dt} \oint_S \vec{B} \cdot d\vec{S}	\mathbf{E}: camp elèctric \mathbf{B}: camp magnètic t: temps	rotacional ...
Llei d'Ampère - Maxwell	\href{matematiques.html#rotacional}{\nabla \times} \href{#camp_magnetic}{\mathbf{B}} = \mu_0 \left( \mathbf{J} + \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right)	\oint_l \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I + \epsilon_0 \mu_0 \frac{d}{dt} \oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S}	\mathbf{B}: camp magnètic \mathbf{J}: densitat de corrent \mathbf{E}: camp elèctric \mu_0: permeabilitat magnètica del buit \epsilon_0: permitivitat elèctrica del buit t: temps ...	rotacional ...

Velocitat de propagació:

qualsevol medi	buit
v = \frac{1}{\sqrt{\epsilon \mu}} on: \epsilon: permitivitat elèctrica del medi \mu: permeabilitat magnètica del medi	c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}} on: \epsilon_0 = 8,85\cdot10^{-12} \,\text{C}^2/\text{N}\cdot\text{m}^2: permitivitat elèctrica del buit \mu_0 = 4 \pi \cdot 10^{-7}\, \text{m}\cdot \text{kg/C}^2: permeabilitat magnètica del medi c: velocitat de la llum al buit

Experiment de Heinrich Hertz
- demostra empíricament la teoria de Maxwell
- perquè el camp elèctic i el magnètic variïn en el temps i puguin generar ones, cal que les càrregues estiguin accelerades
- emissor: dipol oscil·lant electromagnètic (altres exemples: un circuit LC)
- l'experiment confirma que: el moviment accelerat de les càrregues elèctriques genera ones electromagnètiques que transmeten energia i quantitat de moviment
Ones electromagnètiques harmòniques
- Equació d'ona
- Energia i quantitat de moviment: \boxed{E = p c}

Electromagnetisme

		camp magnètic
		constant	variable
conductor sense corrent	sense moviment	si el metall és ferromagnètic, hi haurà forces d'atracció
	en moviment	el flux magnètic varia Faraday-Lenz: es crea una FEM induïda al conductor	es creen corrents de Foucault al conductor
conductor amb corrent constant	sense moviment	crea un camp magnètic constant
	en moviment	el conductor experimenta forces perpendiculars al camp magnètic
circuit tancat ...

conductor amb corrent variable	sense moviment
	en moviment

Electromagnetisme
- Imants
  - IMA
- ...
Programari / Software
- Latex Tikz
- VectorFieldPlot (Wikimedia)
  - SciPy
...

Llum

Naturalesa

model	defensors
corpuscular	Newton
ondulatori	Hooke: ona mecànica transversal Huygens: ona mecànica longitudinal Young: experiment de mesura de les longituds d'ona (esquema) \left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} \text{triangle:} \quad r_1 - r_2 = a \sin{\theta} \\ \href{#interferencies}{\text{interferència constructiva:}} \quad r_1 - r_2 = n\lambda \end{array} \right\} \; a \sin{\theta} = n \lambda \;\Rightarrow\; \sin{\theta} = \frac{n \lambda}{a} \\ \left. \begin{array}{r} \text{triangle:}\quad \tan{\theta} = \frac{x}{d} \\ \text{per a angles petits:} \quad \tan{\theta} \simeq \sin{\theta} \end{array} \right\} \; \sin{\theta} = \frac{x}{d} \end{array} \right\} \; \frac{x}{d} = \frac{n\lambda}{a} \; \Rightarrow \; x = \frac{nd}{a}\lambda \;\Rightarrow\; \Delta x = \frac{(n+1)d}{a} \lambda - \frac{nd}{a}\lambda \; \Rightarrow \; \boxed{ \Delta x = \frac{d}{a} \lambda }

Equacions de Maxwell
Reflexió i refracció de la llum
Fonaments de la física moderna
- Maxwell: confirma la naturalesa ondulatòria de la llum
- les radiacions no són una vibració de partícules, sinó la vibració de camps elèctrics i magnètics que transmet energia
- les substàncies poden emetre radiació quan s'escalfen
- l'absorció i l'emissió de radiació s'ha de fer de forma contínua (més tard es comprova que és de forma discreta: comportament corpuscular. Per tant, té comportament dual: ondulatori i corpuscular)
- no només la radiació electromagnètica presenta dualitat ona-corpuscle, sinó totes les partícules materials, per exemple els electrons

Radiació de cos negre

experiment: radiacions emeses per un cos negre quan s'escalfa
el resultat dels experiments no quadren amb la primera teoria: catàstrofe de l'ultraviolat

Max Planck:

l'energia que irradia un cos en forma d'ona electromagnètica és emesa en salts: quàntums, amb energia E=hf

Energia del quàntum [J], [eV]

E = hf on:

h = 6,62\cdot 10^{-34} \; \text{J}\cdot\text{s}: constant de Planck

Espectresd'emissió
- ...

Efecte fotoelèctric

Hertz: experiment amb un tub de buit i dos elèctrodes sota alta tensió, sotmesos a descàrregues. En mesura el voltatge i la intensitat (esquema)
- si s'il·lumina el càtode amb llum ultraviolada, encara que la tensió no sigui prou alta per a generar una descàrrega, hi ha un pas de corrent: la llum és una ona electromagnètica que aporta energia als electrons, que són capaços d'alliberar-se
- cal una freqüència llindar a partir de la qual s'alliberen electrons, encara que la intensitat de la llum sigui molt baixa
- si s'inverteix la polaritat dels elèctodes, el potencial de frenada, que fa que els electrons no tinguin prou energia cinètica (energia cinètica màxima) per anar d'un elèctrode a l'altre, no depèn de la intensitat de la llum, sinó de la seva freqüència

explicació d'Einstein de l'efecte fotoelèctric

la llum és un feix de partícules, els fotons, els quanta de Planck
la llum es propaga en forma d'ones electromagnètiques, però quan interactua amb la matèria mostra el seu aspecte corpuscular
l'energia d'un fotó, absorbida per l'electró, la inverteix en alliberar-se de la xarxa cristal·lina (energia d'extracció: W_0) i en energia cinètica: \left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} \text{l'energia aportada s'inverteix en extracció i en energia cinètica:}\quad E = W_0 + E_c \\ \text{Planck:}\quad E = hf \\ E_c = \frac{1}{2} m v^2 \end{array} \right\} \; hf = \frac{1}{2} m v_\text{màx}^2 + W_0 \\ \text{freqüència que només allibera l'electró:}\quad h f_0 = W_0 \end{array} \right\} \quad hf = \frac{1}{2} m v_\text{màx}^2 + h f_0 \\ \left. \begin{array}{r} \text{quan hi ha potencial de frenada}V_0 \;\text{tota l'energia cinètica està contrarestada per la potencial:}\quad E_c = E_p \\ E_c = \frac{1}{2} m v_\text{màx}^2 \\ E_p = e V_0 \end{array} \right\} \quad \frac{1}{2} m v_\text{màx}^2 = e V_0 \end{array} \right\} \quad hf = e V_0 + h f_0 \;\Rightarrow\; V_0 = \frac{h}{e} f - \frac{h}{e} f_0

quantitat de moviment d'un fotó:

quantitat de moviment d'un fotó

\left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} \href{#maxwell_energia}{\text{Maxwell:}} \quad E = p c \;\Rightarrow\; p = \frac{E}{c} \\ \href{#energia_planck}{\text{Planck:}} \quad E = hf \end{array} \right\} \quad p = \frac{hf}{c} \\ \lambda = \frac{c}{f} \end{array} \right\} \quad \boxed{ p = \frac{h}{\lambda} }

aplicacions
- plaques fotovoltaiques
- LED

Dualitat ona-corpuscle

la dualitat de comportament no és exclusiva de les ones electromagnètiques: totes les partícules materials tenen doble comportament ona-corpuscle

hipòtesi de De Broglie

longitud d'ona

longitud de l'ona associada a una partícula de massa m que es mou a la velocitat v

\left. \begin{array}{r} \href{#quantitat_moviment_foto}{p} = \frac{h}{\lambda} \quad\Rightarrow\quad \lambda = \frac{h}{p} \\ \href{#quantitat_moviment}{p} = mv \end{array} \right\} \quad \boxed{ \lambda = \frac{h}{mv} }

la dualitat ona-corpuscle de la radiació i la matèria va donar lloc a la mecànica quàntica, en la qual les partícules són considerades paquets d'ones
- desenvolupada per Erwin Schrödinger i Werner Heisenberg

Principi d'incertesa

cada partícula té associada una funció d'ona que depèn de la posició i del temps: \Psi(\vec{r},t)
l'amplitud de la funció d'ona representa la probabilitat de trobar la partícula en una regió de l'espai determinada

Principi d'incertesa de Heisenberg: no es pot mesurar simultàniament i amb precisió la posició i la quantitat de moviment d'una partícula

posició i quantitat de moviment	energia i temps
\Delta x \Delta p \geq \frac{\href{#constant_planck}{h}}{4\pi}	\Delta E \Delta t \geq \frac{h}{4\pi}

Nombres quàntics i orbitals del electrons

Teoria de la relativitat (A. Einstein)

Experiment de Michelson-Morley
- conclusions
  - l'èter no existeix; les transformacions de Galileu de la velocitat no es verifiquen en el cas de la llum
  - la velocitat de la llum és universal, i no depèn de la velocitat de l'observador que mesura el seu valor

...

postulats

relativitat restringida / especial

moviment uniforme

primer postulat o principi d'equivalència: les lleis de la física es verifiquen de manera idèntica en tots els sistemes inercials, sense que sigui possible deduir a través seu cap distinció entre un sistema inercial i un altre

segon postulat: la velocitat de la llum és una constant universal, invariant per a tots els observadors inercials

conseqüències:

dilatació temporal

Rellotge de llum que s'emet verticalment, amb un mirall a la part superior.
Es mesura el temps invertit en pujar i tornar a baixar.
Dos sistemes inercials:

S: es mou respecte S' amb una velocitat v
S': es considera aribitràriament en repòs

observador A, solidari del sistema inercial S: (esquema) \Delta t_T = \frac{2l}{c}

observador B, solidari del sistema inercial S' (en repòs)
(el raig de llum ha de recórrer una distància més gran, però la velocitat de la llum, c, ha de ser la mateixa que per a l'observador A): (esquema) \left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} \Delta t_T' = \frac{s_T'}{c} \\ s_T' = 2 s_1 \\ s_1' = \sqrt{l^2+(v\Delta t_1')^2} \end{array} \right\} \quad \Delta t_T' = \frac{2\sqrt{l^2+(v\Delta t_1')^2}}{c} \;\Rightarrow \; {\Delta t_T'}^2 = \frac{4 (l^2+(v\Delta t_1')^2)}{c^2} \;\Rightarrow \; {\Delta t_T'}^2 = \frac{4l^2}{c^2} + \frac{v^2(2\Delta t_1')^2}{c^2} \\ \Delta t_T = \frac{2l}{c} \quad\Rightarrow\quad {\Delta t_T}^2 = \frac{4l^2}{c^2} \\ \Delta t_T' = 2 \Delta t_1' \end{array} \right\} \quad {\Delta t_T'}^2 = {\Delta t_T}^2 + \frac{v^2 (\Delta t_T')^2}{c^2} \quad\Rightarrow\quad \boxed{ \Delta t_T' = \frac{\Delta t_T}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} }

els rellotges en moviment s'alenteixen respecte d'un observador en repòs

contracció de la longitud

Barra en posició horitzontal.
Es mesura la longitud de la barra.
Dos sistemes inercials:

S': es mou respecte S
S: es considera arbitràriament en repòs

observador solidari del sistema S': l_0 = \Delta x' = x_2' - x_1' \quad \text{longitud pròpia}

observador solidari del sistema S (en repòs): \left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} l_0 = \Delta x' = x_2' - x_1' \\ \href{#transformacions_einstein_lorentz}{\text{transformacions Einstein-Lorentz:}} \quad x' = \frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \end{array} \right\} \quad l_0 = \frac{x_2-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} - \frac{x_1-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = \frac{x_2-x_1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \\ l = \Delta x = x_2 - x_1 \end{array} \right\} \quad l_0 = \frac{l}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \;\Rightarrow\; \boxed{ l = l_0 \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} }

la longitud de la barra és més petita mesurada des del sistema en repòs S

equivalència massa-energia

	massa	energia
en repòs	m_0	E_0 = m_0 c^2	energia cinètica relativista: E_c = mc^2 - m_0c^2 = (m-m_0)c^2 per a velocitats molt més baixes, l'energia cinètica es calcula segons l'expressió clàssica E_c = \frac{1}{2}mv^2
a velocitat v	m = \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} els fotons són partícules de massa en repòs nul·la; els fotons sempre viatgen a la velocitat de la llum	E = m c^2

el principi de conservació de la massa i el principi de conservació de l'energia no són vàlids dins de la relativitat,
ja que una part de la massa pot desaprèixer i convertir-se en energia, i viceversa
però podem substituir-los per un principi més general, el principi de conservació massa-energia, pel qual cal tenir en compte,
dins del còmput d'una i de l'altra, la part de la massa que es transforma en energia, i viceversa, d'acord amb l'equació d'Einstein d'equivalència entre massa i energia

relativitat general

sistemes de referència accelerats

la gravetat s'interpreta com el resultat de les propietats geomètriques de l'espai i de les distorsions que hi introdueix la massa

Transformacions d'Einstein-Lorentz
...

Big bang

Llei de Hubble

Llei de Hubble	on:
v =H_0 d	v: velocitat de recessió de la galàxia d: distància de la galàxia H0: constant de Hubble H_0 = \frac{20\; \text{km/s}}{\text{milió d'anys llum}}

Electricitat

Electrònica / Electronics
Diferència de potencial: \Delta V = \frac{\Delta E_p}{Q}
Intensitat de corrent: I = \frac{\Delta Q}{\Delta t} I = \frac{\Delta Q}{\Delta t} = \frac{n S v_m \Delta t e}{\Delta t} = n S v_m e

impedància depèn de la freqüència es pot mesurar amb un VNA (vector network analyser) representació: carta de Smith
Z = R + j X	resistència (part real): R
	reactància (part imaginària): X>0: inductància X_{L} X<0: capacitància X_{C}

Lleis de Kirchhoff

...

Primera llei	La suma algebraica dels corrents que arriben a un nus és igual a la suma algebraica dels corrents que surten del nus. \sum{I} = 0		I_1 - I_2 + I_3 = 0
Segona llei	En tota malla o circuit tancat, la suma algebraica de totes les fem és igual a la suma algebraica de les caigudes de tensió. \sum{\varepsilon} = \sum{R} · I		malla a: \varepsilon_1 + \varepsilon_2 = I_1 · (r_1 + R_1) + I_2 · (R_2 + r_2) malla b: -\varepsilon_2 - \varepsilon_3 = -I_2 · (r_2 + R_2) + I_3 · (r_3 + R_3)

Criteris:
- en un nus:
  - corrent que hi entra: positiu
  - corrent que en surt: negatiu
- sentit de referència d'una malla: sentit horari
- en una malla:
  - intensitat en el mateix sentit que el de referència de la malla: positiva
  - intensitat en sentit contrari al de referència de la malla: negativa
- fem
  - si el sentit del corrent que produeix (de pol negatiu a pol positiu) coincideix amb el sentit de referència de la malla: positiva
  - si el sentit del corrent que produeix (de pol negatiu a pol positiu) es contrari al sentit de referència de la malla: negativa

Corrent altern

Alternating current (interactiu)

paràmetre
període	T
freqüència	f
valor instantani	v, i	v = V_{\text{màx}} \sin{\varphi} = V_{\text{màx}} \sin{\omega t}
valor màxim	V_{\text{màx}}, I_{\text{màx}} \mathcal{E}_0, I_0	V_{\text{màx}} = NBS \omega (Faraday-Lenz)
valor eficaç (RMS)	V, I	aquell que produeix els mateixos efectes calorífics, en passar per una resistència, que un corrent continu del mateix valor (potència mitjana) \left. \begin{array}{r} \text{corrent continu:}\; P_m = R I_e^2 \\ \text{corrent altern:}\; P_m = \frac{1}{2} R I_0^2 \end{array} \right\}\quad R I_e^2 = \frac{1}{2} R I_0^2 \quad \Rightarrow \quad I_e = \frac{I_0}{\sqrt{2}} \quad \Rightarrow \quad \boxed{I = \frac{I_{\text{màx}}}{\sqrt{2}}} \left. \begin{array}{r} \text{corrent continu:}\; P_m = \frac{\mathcal{E}_e^2}{R} \\ \text{corrent altern:}\; P_m = \frac{1}{2} \frac{\mathcal{E}_0^2}{R} \end{array} \right\} \quad \frac{\mathcal{E}_e^2}{R} = \frac{1}{2} \frac{\mathcal{E}_0^2}{R} \quad \Rightarrow \quad \mathcal{E}_e = \frac{\mathcal{E}_0}{\sqrt{2}} \quad \Rightarrow \quad \boxed{V = \frac{V_{\text{màx}}}{\sqrt{2}}} això ens permet generalitzar la llei d'Ohm
valor mitjà

Elements passius (esquema resistència, bobina, condensador, memristor)

	energia	valor	circuit amb	impedància Z [Ω]	llei d'Ohm generalitzada Z = \frac{I_{\text{màx}}}{V_{\text{màx}}} = \frac{\href{#valor_eficac}{I}}{\href{#valor_eficac}{V}}	valors instantanis	la intensitat, respecte la tensió	Força electromagnètica \mathcal{E}(t) = Z I(t)	intensitat I(t) = \frac{\mathcal{E}(t)}{Z}	potència P(t) = \mathcal{E}(t) I(t)
			corrent altern (sinusoidal)
R: resistència	dissipa l'energia en forma calorífica	...	resistència òhmica pura	real:\vec{Z}=R	I_{\text{màx}}=\frac{V_{\text{màx}}}{R} I=\frac{V}{R}	v=V_{\text{màx}}\sin{\omega t}i=I_{\text{màx}}\sin{\omega t}	està en fase	\mathcal{E}(t) = \mathcal{E}_0 \sin{\omega t} \mathcal{E}(t) = R I_0 \sin{\omega t}	I(t) = \frac{\mathcal{E}_0}{R} \sin{\omega t} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} I(t) = I_0 \sin{\omega t} \\ I_0 = \frac{\mathcal{E}_0}{R} \end{array} \right.	P(t) = R I_0^2 \sin^2{\omega t} potència mitjana (calculada a partir del treball en un període T): \left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} W = \int_0^T P(t) dt = \int_0^T R I_0^2 \sin^2{\omega t} dt = \left[ R I_0^2 \left( \frac{t}{2} - \frac{1}{4\omega} \sin{2\omega t} \right) \right]_0^T = \frac{1}{2} R I_0^2 T \\ P_m = \frac{W}{T} \end{array} \right\} \boxed{P_m = \frac{1}{2} R I_0^2} \\ I_e = \frac{I_0}{\sqrt{2}} \end{array} \right\} P_m = R I_e^2 (ens permet calcular el valor eficaç)
L: inductància o bobina	emmagatzemen l'energia elèctrica en forma de camp magnètic	\left. \begin{array}{r} L := \frac{\href{#flux_camp_magnetic}{\Phi}}{I} \\ \href{#llei_faraday_lenz}{\mathcal{E}} = -\frac{d\Phi}{dt} \end{array} \right\} \mathcal{E} = - \frac{d(LI)}{dt} \Rightarrow \boxed{\mathcal{E} = - L\frac{dI}{dt}}	inductància pura	imaginària positiva (inductància): \vec{Z} = \vec{X}_L = jL\omega = jL 2\pi f	I_{\text{màx}} = \frac{V_{\text{màx}}}{X_L} I = \frac{V}{X_L}	v = V_{\text{màx}} \sin{\omega t} i = I_{\text{màx}} \sin{(\omega t - \frac{\pi}{2})}	va retardada 90°
C: capacitància o condensador	emmagatzema l'energia elèctrica en forma de camp elèctric	\boxed{I = C \frac{dV}{dt}} V_c(t) = V(0) + \frac{1}{C} \int_0^t I(\tau) d\tau	capacitància pura	imaginària negativa (capacitància): \vec{Z} = \vec{X}_C = \frac{1}{jC\omega} = \frac{1}{jC2\pi f}	I_{\text{màx}} = \frac{V_{\text{màx}}}{X_C} I = \frac{V}{X_C}	v = V_{\text{màx}} \sin{\omega t} i = I_{\text{màx}} \sin{(\omega t + \frac{\pi}{2})}	va avançada 90°
memristor

Potència (calculada a partir dels valors eficaços)

	potència activa [W]	potència reactiva [VAr]	potència aparent [VA]
	real, mesurada pels comptadors (? potència real: component real d'I per V)	necessària per a crear camps magnètics, però no produeix treball útil; cal minimitzar-la perquè perjudica la transmissió d'energia a les línies de distribució (? potència imaginària: component imaginària d'I per V)	es transmet a les línies per fer-la arribar als consumidors
corrent continu	P = VI
corrent altern	P = VI \cos{\varphi} on: factor de potència: \cos{\varphi} = \frac{R}{Z} \varphi: desfasament entre V i I	Q = VI \sin{\varphi}	S = \sqrt{P^2 + Q^2}
corrent altern trifàsic	P_T = P_{f1} + P_{f2} + P_{f3} P_T = V_{f1}I_{f1}\cos{\varphi_1} + V_{f2}I_{f2}\cos{\varphi_2} + V_{f3}I_{f3}\cos{\varphi_3} P_T = 3V_f I_f \cos{\varphi}	Q_T = 3 V_f I_f \sin{\varphi}	S_T = 3 V_f I_f

Circuits de corrent altern (les magnituds es representen com a nombres complexos: fasors; valors eficaços)

esquema

intensitat

tensió

corrent instantani i,
respecte v

potència

freqüència de ressonància

impedància de ressonància

sèrie RL

\vec{Z} = \vec{R} + \vec{X_L} = R + L\omega j = \|\vec{Z}\|_{\varphi}

\vec{I} = \frac{\vec{V}}{\vec{Z}}

\vec{V} = \vec{V_R} + \vec{V_L} = \vec{R}\vec{I} + \vec{X_L}\vec{I}

està retardat \varphi
Tensió intensitat RL

\left. \begin{array}{r} P = V I \cos{\varphi} \\ Q = V I \sin{\varphi} \end{array} \right\} S = VI

sèrie RC

\vec{Z} = \vec{R} + \vec{X_C} = R - \frac{1}{C\omega} j

\vec{I} = \frac{\vec{V}}{\vec{Z}}

\vec{V} = \vec{V_R} + \vec{V_C} = \vec{R}\vec{I} + \vec{X_C}\vec{I}

està avançat \varphi
Tensió intensitat RC

\left. \begin{array}{r} P = V I \cos{\varphi} \\ Q = V I \sin{\varphi} \end{array} \right\} S = VI

sèrie RLC

\vec{Z} = \vec{R} + \vec{X_L} + \vec{X_C}

\vec{I} = \vec{I}_R = \vec{I}_L = \vec{I}_C

\left. \begin{array}{r} \vec{V} = \vec{I} \vec{Z} \\ \left. \begin{array}{r} \vec{V} = \vec{V}_R + \vec{V}_L + \vec{V}_C \\ \vec{V}_R = \vec{I} \vec{Z}_R \\ \vec{V}_L = \vec{I} \vec{Z}_L \\ \vec{V}_C = \vec{I} \vec{Z}_C \end{array} \right\} \vec{V} = \vec{I} (\vec{Z}_R + \vec{Z}_L + \vec{Z}_C) \end{array} \right\} \vec{Z} = \vec{Z}_R + \vec{Z}_L + \vec{Z}_C

equació diferencial	transformada de Laplace
\left. \begin{array}{r} V(t) = V_R(t) + V_L(t) + V_C(t) \\ V_R(t) = R I(t) \\ \href{#inductancia}{V_L(t)} = L \frac{\mathrm{d}I(t)}{\mathrm{d}t} \\ \href{#condensador}{V_C(t)} = V(0) + \frac{1}{C} \int_0^\tau I(\tau)\mathrm{d}\tau \end{array} \right\} \quad V(t) = R I(t) + L \frac{\mathrm{d}I(t)}{\mathrm{d}t} + V(0) + \frac{1}{C} \int_0^\tau I(\tau)\mathrm{d}\tau	V(s) = I(s)\left( R + Ls + \frac{1}{Cs} \right)
quan V(t) és constant, derivant i dividint per L: \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2} I(t) + \frac{R}{L}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}I(t) + \frac{1}{LC}I(t) = 0	s^2 I(s) + \frac{R}{L} s I(s) + \frac{1}{LC} I(s) = 0 equació característica: s^2 + \frac{R}{L} s + \frac{1}{LC} = 0 té dues solucions: s_1 =... s_2 =... i la solució de l'equació diferencial és: I(t) = A_1 e^{s_1t} + A_2 e^{s_2t}

està retardat \varphi si \|\vec{X}_L\| \gt \|\vec{X}_C\|
està avançat \varphi si \|\vec{X}_L\| \lt \|\vec{X}_C\|

quan \omega_0 fa que: \left. \begin{array}{r} \|\vec{Z}_L\| = \|\vec{Z}_C\| \\ \|\vec{Z}_L\| = L\omega_0 \\ \|\vec{Z}_C\| = \frac{1}{C\omega_0} \end{array} \right\} \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}

el conjunt LC es comporta com un curtcircuit: la impedància total és mínima

paral·lel RLC

Circuit AC RLC paral·lel — Circuit RLC paral·lel

\frac{1}{\vec{Z}} = \frac{1}{\vec{Z}_R} + \frac{1}{\vec{Z}_L} + \frac{1}{\vec{Z}_C}

\left. \begin{array}{r} \vec{I} = \frac{\vec{V}}{\vec{Z}} \\ \left. \begin{array}{r} \vec{I} = \vec{I_R} + \vec{I_L} + \vec{I_C} \\ \vec{I}_R = \frac{\vec{V}}{\vec{Z}_R} \\ \vec{I}_L = \frac{\vec{V}}{\vec{Z}_L} \\ \vec{I}_C = \frac{\vec{V}}{\vec{Z}_C} \end{array} \right\} \vec{I} = \vec{V} (\frac{1}{\vec{Z}_R} + \frac{1}{\vec{Z}_L} + \frac{1}{\vec{Z}_C}) \end{array} \right\} \frac{1}{\vec{Z}} = \frac{1}{\vec{Z}_R} + \frac{1}{\vec{Z}_L} + \frac{1}{\vec{Z}_C}

\vec{V} = \vec{V}_R = \vec{V}_L = \vec{V}_C

el conjunt LC es comporta com un circuit obert: la impedància total és màxima

Corrent altern trifàsic

Alternator (animació)
Càlculs en sistemes trifàsics (pdf)

Tres corrents monofàsics, del mateix valor eficaç, desfasats 120°

		bobina
L1	R	XU
L2	S	YV
L3	T	ZW

Connexió de les tres fases fn cap a les línies Ln

	fase	línia	potència activa
	\vec{V}_f = \vec{\mathcal{E}}_f - \vec{R}_f\vec{I}_f - \vec{X}_f\vec{I}f V_{f1} = V_{f2} = V_{f3} = V_f \vec{V}_{f1} + \vec{V}_{f2} + \vec{V}_{f3} = 0	V_{L1} = V_{L2} = V_{L3} = V_L \vec{V}_{L1} + \vec{V}_{L2} + \vec{V}_{L3} = 0	P_T = 3 V_f I_f \cos{\varphi}
en estrella (amb neutre)		V_L = \sqrt{3}V_f I_L = I_f	P_T = 3\frac{V_L}{\sqrt{3}} I_L \cos{\varphi} = \sqrt{3} V_L I_L \cos{\varphi}
en triangle		V_L = V_f I_L = \sqrt{3}I_f	P_T = 3 V_L \frac{I_L}{\sqrt{3}} \cos{\varphi} = \sqrt{3} V_L I_L \cos{\varphi}

Paràmetres


	tensió de fase	intensitat de fase
	tensió de línia	intensitat de línia
		intensitat del neutre

Màquines elèctriques

		principi	potència
			potència absorbida	potència perduda			potència útil	potència nominal (a plena càrrega PC)
			subministada a la màquina per al seu funcionament, per:	pèrdues d'energia			subministrada per la màquina	màxima potència útil sense deteriorar-se
				magnètica (histèresi, Foucault)	elèctrica (Joule)	mecànica (fregaments, ventilació)
rotatives	generador alternador (CA) dinamo (CC)	inducció electromagnètica (Faraday-Lenz)	per la màquina motriu que el fa girar	x	x	x	subministrsada a la xarxa
rotatives	motor	Llei de Laplace	per la xarxa elèctrica	x	x	x	subministrada a l'eix
estàtiques	transformador		per la xarxa elèctrica	x	x	-	subministrada a la xarxa

Generadors elèctrics

	corrent	FEM generada	on	amb càrrega	potència aparent
dinamo	CC	\mathcal{E} = K \Phi n K = \frac{Np}{60a}	N: nombre de conductors actius de l'enrotllament induït (cada espira en té dos) n: freqüència de rotació del motor en min^-1 p: nombre de parells de pols de l'inductor a: nombre de parells de branques en paral·lel del circuit induït
alternador	CA	\mathcal{E}_f = K 4,44 N_s f \Phi \quad\text{[V]} n_s = \frac{60f}{p}	\mathcal{E}_f: FEM eficaç generada en cada fase K: coeficient de l'enrotllament induït N_s: nombre d'espires sèrie per fase \Phi: flux per pol en Wb f: freqüència en Hz n_s: freqüència síncrona de rotació en min-1 p: nombre de parells de pols de l'induït f: freqüència de la FEM induïda en Hz	quan treballa amb càrrega, el pas del corrent provoca una caiguda de tensió, degut a la resistència i a la inductància:\vec{V}_f = \vec{\mathcal{E}}_f - \vec{R}_f\vec{I}_f - \vec{X}_f\vec{I}f	alternador monofàsic S = VI \quad\text{[VA]} alternador trifàsic: S = 3V_f I_f = \sqrt{3}V_L I_L \quad\text{[VA]}

Motors elèctrics

	corrent continu	corrent altern
	dinamo invertida	asíncron (d'inducció) camp magnètic giratori (generat per les tres fases d'un corrent altern trifàsic)		síncron: alternador invertit (N. Tesla)
		trifàsic (yt)	monofàsic amb bobinatge auxiliar d'arencada universal: motor CC amb excitació sèrie (trepant, aspirador)
ús		industrial	electrodomèstics, màquines eina portàtils	pràcticament no es fa servir
sentit de gir	regla de la mà esquerra
força contraelectromotriu (Lenz)	\mathcal{E}' = K \Phi n \quad\text{[V]} on: n: freqüència de rotació [min^-1]
intensitat del motor (I): intensitat que absorbeix el motor	I = \frac{V_L - \mathcal{E}'- 2 V_{CO}}{R_t} \quad \text{[A]} on: R_t: resistència òhmica que la màquina oposa al pas del corrent V_{CO}: caiguda de tensió entre el col·lector i les escombretes (2 V)	\left. \begin{array}{r} \href{#motor_ac_asincron_trifasic_potencia}{P_\text{abs}} = \sqrt{3} V_L I_L \cos{\varphi} \\ \href{#motor_ac_asincron_trifasic_rendiment}{\eta} = \frac{P_u}{P_\text{abs}} \; \Rightarrow \; P_\text{abs} = \frac{P_\text{u}}{\eta} \end{array} \right\} \quad I = \frac{P_u}{\sqrt{3} V_L \eta \cos{\varphi}}
intensitat d'arrencada o de curtcircuit (\mathcal{E}'=0)	I_a = I_{CC} = \frac{V_L - 2 V_{CO}}{R_t} \quad \text{[A]} REBT: I_a \le (1,5 \div 2,5) I_i \Rightarrow cal un reòstat d'arrencada (R_{Ra}) tal que: I_a = \frac{V_L - 2 V_{CO}}{R_t + R_{Ra}}
velocitat de gir	\left. \begin{array}{r} n = \frac{\mathcal{E}'}{K\Phi} \\ \mathcal{E}' = V_L - R_t I - 2 V_{CO} \end{array} \right\} \;n = \frac{V_L - R_t I - 2 V_{CO}}{K\Phi} \Rightarrow \boxed{n \simeq \frac{V_L}{K\Phi}} \quad \text{[min}^{-1}\text{]}	velocitat del rotor (n_r) inferior a la de sincronisme (n_s) (perquè si fos la mateixa no hi hauria canvi de flux i per tant no hi hauria FEM induïda) n_s = \frac{f}{p} \quad \text{[s}^{-1}\text{]} on: f: freqüència de la xarxa d'alimentació p: parells de pols de l'estator velocitat del rotor (de lliscament): n_r = n_s - n lliscament relatiu: s = \frac{n_r}{n_s}	velocitat inferior a la de sincronisme	velocitat de sincronisme: n_s = \frac{f}{p} \quad \text{[s}^{-1}\text{]} on: f: freqüència de la xarxa d'alimentació p: parells de pols de l'estator
estabilitat	un motor és estable quan: en augmentar la velocitat, respon amb una reducció del parell motor que estableix l'equilibri. En cas contrari, el motor s'embalarà. en reduir la velocitat, respon amb un augment del parell motor. En cas contrari, el motor anirà perdent força i s'aturarà.
potència absorbida (P_\text{abs}), induïda (P_\text{i}), útil (P_\text{u})	\boxed{P_{\text{abs}} = V_L I}\quad \text{[W]} \; \left\{ \begin{array}{l} \boxed{P_\text{i} = \mathcal{E}' I_i}\; \left\{ \begin{array}{l} P_\text{u} \\ P_\text{mecàniques} \end{array} \right. \\ P_\text{magnètiques} + P_\text{elèctriques} \end{array} \right.	\left. \begin{array}{r} \href{#potencia_activa}{P_\text{abs}} = \sqrt{3} V_L I_L \cos{\varphi} \quad \text{[W]} \\ \href{#potencia_reactiva}{Q_\text{abs}} = \sqrt{3} V_L I_L \sin{\varphi} \quad \text{[VA}_r\text{]} \end{array} \right\} \quad \href{#potencia_aparent}{S_\text{abs}} = \sqrt{3} V_L I_L \quad \text{[VA]} on: P_abs: potència activa (=potència útil + pèrdues mecàniques + elèctriques + magnètiques) Q_abs: potència reactiva (per crear el camp magnètic) S_abs: potència aparent subministrada per la xarxa al motor
rendiment del motor	\eta = \frac{P_u}{P_\text{abs}} = \frac{P_u}{P_u + P_p} on: P_p: pèrdues magnètiques, elèctriques i mecàniques	\eta = \frac{P_\text{u}}{P_\text{abs}} = \frac{P_\text{u}}{P_\text{u} + P_\text{Fe} + P_\text{Cu} + P_\text{mecàniques}}
parell motor (Laplace)	\left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} \href{#llei_laplace}{F} = B I_i L\\ \Gamma = NFr \end{array} \right\} \Gamma = NBI_i L\\ B = \frac{\Phi}{S}\\ S = \frac{2\pi r l}{2p}\\ \end{array} \right\} \Gamma = N \frac{\Phi p}{\pi l} I_i L \quad \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r} \boxed{\Gamma = K \Phi I_i}\\ K = \frac{Np}{\pi l}L \end{array} \right. on: \Phi: flux de cada pol [Wb] I_i: intensitat de l'induït [A]	\Gamma = \frac{P_u}{2 \pi n} \quad \text{[N·m]}
parell intern i útil	\Gamma_i = \frac{P_i}{\omega} = \frac{\mathcal{E}'I_i}{\omega} \quad \text{[N·m]} \Gamma_u = \frac{P_u}{\omega} \quad \text{[N·m]}
parell d'engegada (\Gamma_a)	ha de ser més gran que el parell motor nominal, ja que a més de vèncer el parell resistent (\Gamma_r), ha d'accelerar el motor fins a la velocitat nominal (veǹcer el moment intern del motor \Gamma_i): \Gamma_a = K\Phi_a I_a \Gamma_a = \Gamma_r + \Gamma_i

Pèrdues

pèrdues	circuit	causa
magnètiques (del ferro)	magnètic	corrents paràsits o de Foucault
elèctriques (del coure)	elèctric	efecte Joule
mecàniques		fregaments i ventilació

Transformador
- ...

Pèrdues de potència en una línia (L: longitud, s: secció, \rho: resistivitat) p = \frac{3\rho I^2 L}{s}

Ones

Equació d'ona
- The Wave Equation for BEGINNERS (Parth G)
- ...\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}

Mecànica lagrangiana i hamiltoniana

Mecànica lagrangiana

Why Lagrangian Mechanics is BETTER than Newtonian Mechanics F=ma | Euler-Lagrange Equation | Parth G
\mathcal{L} = T - V, on T és l'energia cinètica i V és l'energia potencial; no té sentit físic
Equació d'Euler-Lagrange:\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot{q}} \right) = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q}
Avantatges:
- no considera forces; només energies
- més convenient per a sistemes amb múltiples forces
- millor per quan hi ha múltiples coordenades

Exemple d'una massa amb una molla:

energia cinètica:T=\frac{1}{2}m \dot{x}^2	\mathcal{L} = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 -\frac{1}{2}k{x}^2	per a trobar l'equació del moviment, fem servir l'equació d'Euler-Lagrange: \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial\left(\frac{1}{2}m\dot{x}^2 -\frac{1}{2}k{x}^2\right)}{\partial \dot{x}} \right) = \frac{\partial\left(\frac{1}{2}m\dot{x}^2 -\frac{1}{2}k{x}^2\right)}{\partial x} i trobem:m\ddot{x} = -kxque és el mateix que la segona llei de Newton: m\vec{a} = \sum{\vec{F}}
energia potencial elàstica de la molla:V=-\frac{1}{2}k {x}^2

Mecànica hamiltoniana
- H = T + V, on T és l'energia cinètica i V és l'energia potencial

Física de partícules / Particle physics

Teories

Model estàndard
- Standard Model
  - Mathematical formulation of the Standard Model

Interaccions i teories

			QFT	interacció	partícules mediadores	abast	intensitat relativa (entre 2 protons separats 10^-15m)	originada per	mecànica	mecànica	característiques	es conserva
									clàssica	quàntica
teoria del tot			QG gravetat quàntica	gravitatòria	gravitons?		1	massa	llei de la gravitació universal
	gran teoria unificada	teoria electrofeble		nuclear feble	bosó Z bosó W⁺ bosó W^-		10²⁵				entre dues partícules elementals qualssevol desintegracions radioactives desintegració beta- desintegració beta+
		teoria electrofeble	QED electrodinàmica quàntica	electro magnètica	fotó (γ)		10³⁶	càrrega elèctrica	força electromagnètica: força electrostàtica (cossos en repòs): llei de Coulomb força magnètica (cossos en moviment): força de Lorentz Equacions de Maxwell
			QCD cromodinàmica quàntica	nuclear forta	gluons (g)	10^-14m	10³⁸		-	x	uneix els quarks mitjançant gluons fins a 10^-14m SU(3)	hipercàrrega

Radioactivitat

Experiment de Rutherford amb un camp magnètic

Desintegració radioactiva: procés pel qual els nuclis radioactius emeten partícules radioactives i es transformen en nuclis diferents.

el nombre de nuclis desintegrats és proporcional
al nombre de nuclis presents i al temps transcorregut

\begin{aligned} \Delta N &= -\lambda N \Delta t \\ dN &= -\lambda N dt \\ \frac{1}{N} dN &= -\lambda dt \\ \int \frac{1}{N} dN &= \int -\lambda dt \\ \end{aligned}

\left. \begin{array}{c} \ln{N} = -\lambda t + k \\ t=0; N=N_0 \end{array} \right\} \; \ln{N_0} = -\lambda 0 + k \;\Rightarrow\; k = \ln{N_0}

\begin{aligned} \ln{N} &= -\lambda t + \ln{N_0} \\ \ln{N} - \ln{N_0} &= - \lambda t \\ \ln{\frac{N}{N_0}} &= -\lambda t \\ \boxed{ N = N_0 e^{-\lambda t} } \end{aligned} on:

\lambda: constant de desintegració
N₀: nombre inicial de nuclis
N: nombre final de nuclis, passat un temps t

període de semidesintegració o semivida

T_{1/2}

\begin{aligned} \frac{N}{2} &= N e^{-\lambda T_{1/2}} \\ 2 &= e^{\lambda T_{1/2}} \\ \boxed{T_{1/2} = \frac{\ln{2}}{\lambda}} \end{aligned}

activitat (A) d'una mostra radioactiva: nombre de desintegracions per unitat de temps \left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} A = -\frac{dN}{dt} \\ N = N_0 e^{-\lambda t} \end{array} \right\} \; A = -(-N_0 \lambda e^{-\lambda t}) = \lambda N_0 e^{-\lambda t} = \lambda N \; \Rightarrow \; \boxed{A = \lambda N} \\ N = N_0 e^{-\lambda t} \end{array} \right\} \; A = \lambda N_0 e^{-\lambda t} \;\Rightarrow\; \left\{ \begin{array}{l} \boxed{ A = A_0 e^{-\lambda t} } \; [\text{s}^{-1}; \text{Bq}; \text{1 Ci} = 3,7·10^10 \text{Bq}]\\ A_0 = \lambda N_0 \end{array} \right.

radiació	partícules	A: nombre màssic Z: nombre atòmic (nombre de protons)	partícula emesa, procedent del nucli	nucli fill	velocitat	origen	s'atura amb	penetració	poder d'ionització	trajectòria	final
α alfa	nuclis d'heli-4 (+) \multiscripts{_2^4}{\text{He}}{^{2+}}	\boxed{\multiscripts{_Z^A}{X}{} \rightarrow \multiscripts{_{Z-2}^{A-4}}{X'}{} + \alpha} \;\Rightarrow\; \boxed{\multiscripts{_Z^A}{X}{} \rightarrow \multiscripts{_{Z-2}^{A-4}}{X'}{} + \multiscripts{_2^4}{He}{}}	2 neutrons 2 protons	(n-2) neutrons (n-2) protons	v = \frac{c}{20}		full de paper	escassa	elevat	lineal	atrapa 2 electrons i es converteix en He
β beta	electrons (-) accelerats	\multiscripts{_0^1}{n}{^0} \rightarrow \multiscripts{_1^1}{p}{^+} + \multiscripts{_{-1}^0}{e}{^{-}} + \multiscripts{_0^0}{\bar{\nu_e}}{^0} \boxed{\multiscripts{_Z^A}{X}{} \rightarrow \multiscripts{_{Z+1}^{A}}{X'}{} + \multiscripts{_{-1}^0}{\beta}{} + \bar{\nu_e}} \;\Rightarrow\; \boxed{\multiscripts{_Z^A}{X}{} \rightarrow \multiscripts{_{Z+1}^{A}}{X'}{} + \multiscripts{_{-1}^0}{e}{} + \bar{\nu_e} }	1 electró	(n-1) neutrons (p+1) protons	v=0,9c	interacció feble	làmina d'alumini	escassa	baix	no lineal	capturat per un àtom
β beta	positrons (+) accelerats	\multiscripts{_1^1}{p}{^+} \rightarrow \multiscripts{_0^1}{n}{^0} + \multiscripts{_1^0}{e}{^{+}} + \multiscripts{_0^0}{\nu_e}{^0} \boxed{\multiscripts{_Z^A}{X}{} \rightarrow \multiscripts{_{Z-1}^{A}}{X'}{} + \multiscripts{_{+1}^0}{\beta}{} + \nu_e } \;\Rightarrow\; \boxed{\multiscripts{_Z^A}{X}{} \rightarrow \multiscripts{_{Z-1}^{A}}{X'}{} + \multiscripts{_{+1}^0}{e}{} + \nu_e }	1 positró	(n+1) neutrons (p-1) protons	v=0,9c	interacció feble	làmina d'alumini	escassa	baix	no lineal	anihilat amb un electró
x / γ gamma	fotons d'alta energia	passa d'un estat excitat a un estat estable: X^* \rightarrow X + \gamma			v=c		placa de plom	gran	no tan elevat
n neutrònica	neutrons					emesos espontàniament o per fissió	bloc d'aigua o formigó	gran	baix		poden induir reaccions nuclears

Sèries radioactives naturals

	element inicial	element final
sèrie del tori	\multiscripts{^232}{\text{Th}}{}	\multiscripts{^208}{\text{Pb}}{}
sèrie de l'urani-radi	\multiscripts{^238}{\text{U}}{}	\multiscripts{^206}{\text{Pb}}{}
sèrie de l'actini-urani	\multiscripts{^235}{\text{U}}{}	\multiscripts{^207}{\text{Pb}}{}

Equilibri radiactiu: quan l'activitat del nucli i és igual a l'activitat del nucli següent: \left( \frac{dN}{dt} \right)_i = \left( \frac{dN}{dt} \right)_{i+1} \quad\Rightarrow\quad \lambda_i N_i = \lambda_{i+1} N_{i+1} \quad\Rightarrow\quad \lambda_1 N_1 = \lambda_2 N_2 = \lambda_3 N_3 = ... = \lambda_i N_i

Reaccions nuclears

reacció nuclear	conservació
\multiscripts{_p^{n+p}}{a}{} + \multiscripts{_Z^A}{X}{} \rightarrow \multiscripts{_{Z'}^{A'}}{Y}{} + \multiscripts{_{p'}^{n'+p'}}{b}{}	del nombre atòmic: p+Z = p'+Z' del nombre màssic: n+p+A = n'+p'+A' de la càrrega de la quantitat de moviment: \vec{p_a} + \vec{p_X} = \vec{p_Y} + \vec{p_b} de la massa-energia: l'energia (E = \Delta m c^2) alliberada pel defecte de massa (\Delta m = (M_Y + M_b) - (M_X + M_a)) contribueix a l'energia cinètica de les partícules Y, b

Reaccions nuclears naturals

Formació del carboni-14

1. a les capes altes de l'atmosfera, els raigs còsmics xoquen amb àtoms i es generen
raigs gamma, electrons i altres partícules, com ara neutrons

2. els neutrons reaccionen amb el nitrogen de l'atmosfera i es crea carboni-14: \multiscripts{_7^14}{N}{} + \multiscripts{_0^1}{n}{} \rightarrow \multiscripts{_6^14}{C}{} + \multiscripts{_1^1}{H}{}

3. l'isòtop carboni-14 és inestable i es desintegra en nitrogen: \multiscripts{_6^14}{C}{} \rightarrow \multiscripts{_7^14}{N}{} + \multiscripts{_{-1}^0}{e}{} + \bar{\nu_e}

4. el carboni-14 té una semivida de 5730 anys, però se'n forma contínuament;
la relació entre el \multiscripts{^14}{C}{} i el \multiscripts{^12}{C}{} del CO₂ es manté constant

5. els éssers vius incorporen el CO₂ de l'atmosfera

mentre són vius: la proporció entre \multiscripts{^14}{C}{} / \multiscripts{^12}{C}{} és 1,3·10^-12
quan moren, deixen d'absorbir carboni i, com que el \multiscripts{^14}{C}{} es va desintegrant, la proporció va disminuint;
aquesta proporció permet determinar la data de defunció de l'organisme

Exemple: ...

Creació i anihilació de parells partícula-antipartícula

		energia (m: massa de l'electró/positró)
creació: un fotó gamma xoca amb un nucli i es creen un electró i un positró	\gamma \rightarrow \beta^{-} + \beta^{+}	l'energia del fotó es converteix en la massa del parell de partícules i en l'energia cinètica del conjunt (nucli, electró i positró) \href{#energia_planck}{E = hf} \;\rightarrow \; \left\{ \begin{array}{l} E' = 2m·c^2 \\ + \\ E_{cT} \end{array} \right.
anihilació: un electró i un positró xoquen a baixa velocitat i generen 2 fotons gamma (surten en sentit oposat, a velocitat c)	\beta^{-} + \beta^{+} \rightarrow 2 \gamma	la massa de les partícules es converteix en l'energia dels dos fotons 2m·c^2 = 2E

Reaccions nuclears artificials

creació cobalt-60	desintegració
bombardeig amb un neutró: \multiscripts{_27^59}{\text{Co}}{} + \multiscripts{_0^1}{\text{n}}{} \rightarrow \multiscripts{_27^60}{\text{Co}}{}	99,88%: \begin{aligned} \multiscripts{_27^60}{\text{Co}}{} &\rightarrow \multiscripts{_28^60}{\text{Ni}^}{} + \multiscripts{_{-1}^0}{\beta_1}{} + \bar{\nu_e} \\ \multiscripts{_28^60}{\text{Ni}^}{} &\rightarrow \multiscripts{_28^60}{\text{Ni}}{} + \gamma_1 + \gamma_2 \end{aligned}
	0,12%: \begin{aligned} \multiscripts{_27^60}{\text{Co}}{} &\rightarrow \multiscripts{_28^60}{\text{Ni}^}{} + \multiscripts{_{-1}^0}{\beta_2}{} + \bar{\nu_e} \\ \multiscripts{_28^60}{\text{Ni}^}{} &\rightarrow \multiscripts{_28^60}{\text{Ni}}{} + \gamma_2 \end{aligned}
	resta: \multiscripts{_27^60}{\text{Co}}{} \rightarrow \multiscripts{_28^60}{\text{Ni}}{} + \multiscripts{_{-1}^0}{\beta_3}{} + \bar{\nu_e}

...

Fissió nuclear

mitjançant el bombardeig amb un neutró, el nucli d'un element pesat es divideix en dos o més nuclis lleugers (més potser altres subproductes: neutrons i fotons gamma)
els neutrons que bombardegen cal que tinguin una energia baixa (1 MeV)

urani-235

en un reactor nuclear

n + \multiscripts{^235}{\text{U}}{} \rightarrow \multiscripts{^236}{\text{U}^*}{} \rightarrow \multiscripts{^141}{\text{Ba}}{} + \multiscripts{^92}{\text{Kr}}{} + 3n constant de reproducció k (nombre mitjà de neutrons alliberats):

k<1: estat subcrític (reacció es va apagant)
k=1: estat crític (reacció autosostinguda:
almenys un dels neutrons alliberats és capturat per un altre nucli d'urani-235)
k>1: estat supercrític (es pot generar energia de forma contínua)

l'urani (238) s'enriqueix per a tenir un percentatge de 0,7% de l'isòtop 235
l'isòtop 235 es fissiona
l'isòtop 238 es transforma en neptuni i plutoni

Fusió nuclear

la col·lisió a grans velocitats de dos nuclis lleugers forma un nucli més gran
el defecte de masses es transforma en una gran quantitat d'energia
la gran energia cinètica (velocitat) és necessària per a vèncer la repulsió elèctrica i que s'aproximin fins que comencin a actuar les forces nuclears

reaccions protó-protó

\begin{aligned} \multiscripts{^2}{\text{H}}{} + \multiscripts{^2}{\text{H}}{} &\rightarrow \multiscripts{^3}{\text{H}}{} + \multiscripts{^1}{\text{H}}{} \\ \multiscripts{^2}{\text{H}}{} + \multiscripts{^2}{\text{H}}{} &\rightarrow \multiscripts{^3}{\text{He}}{} + \multiscripts{^1}{\text{n}}{} \\ \multiscripts{^2}{\text{H}}{} + \multiscripts{^3}{\text{H}}{} &\rightarrow \multiscripts{^4}{\text{He}}{} + \multiscripts{^1}{\text{n}}{} \\ \multiscripts{^2}{\text{H}}{} + \multiscripts{^3}{\text{He}}{} &\rightarrow \multiscripts{^4}{\text{He}}{} + \multiscripts{^1}{\text{H}}{} \\ \end{aligned}

procés present a les estrelles
cal escalfar moltíssim els nuclis per a tenir una gran energia cinètica: estat de plasma

Radiacions ionitzants

radiacions ionitzants: totes les radiacions i partícules capaces d'ionitzar substàncies
efecte sobre els éssers vius

dany

somàtic: sobre cèl·lules no reproductives; a altes dosis pot provocar càncer
genètic: en els gens de les cèl·lules reproductives

mesura

gray [Gy]: 1 kg de massa d'una substància absorbeix 1 Gy quan la quantitat de radiació que s'ha depositat equival a una energia d'1 J

1 rad = 10^-2 Gy

factor RBE (efectivitat biològica relativa): nombre rads de radiació X o gamma que produeix el mateix dany biològic que 1 rad de la radiació utilitzada

radiació	factor RBE
raigs X i gamma	1
partícules beta	1-1,7
partícules alfa	10-20
neutrons lents o tèrmics	4-5
neutrons ràpids i protons	10
ions pesants	20

rem: producte de la dosi en rad i el factor RBE (1 rem de qualsevol radiació produeix el mateix dany biològic)

Simetria i conservació

	teories	si hi ha simetria	llavors es conserva
Emmy Noether	clàssiques	de traslació espacial	moment lineal (quantitat de moviment) / linear momentum: \vec{p} = m \vec{v}
		rotacions	moment angular / angular momentum: L = Iw
		no evolucionen amb el temps	energia
Ward–Takahashi identity	QED	gauge: redundància en la descripció matemàtica (ex: rotació del penell i de la seva base)	càrrega	un altre camp compensa els canvis que trenquen la simetria en el primer camp, per a aconseguir una simetria gauge. Per exemple: camp dels electrons i camp dels fotons (QED)
Slavnov–Taylor identities	QCD

Camps: classificació segons el seu comportament davant de les rotacions

	espín	camp	física clàssica / classical field theory	física quàntica (camp quàntic) / quantum field theory
model estàndard	0	camp escalar	camp de temperatura: a cada punt x,y,x,t se li assigna un escalar	camp escalar quàntic: a cada punt x,y,z,t se li assigna una única funció de probabilitat d'energia (P(E))
	1/2	camp espinorial	-	camp espinorial quàntic: a cada punt x,y,z,t se li assignen 2 espinors -1/2 1/2	relacionats amb els estats dretà i esquerrà dels electrons i quarks
	1	camp vectorial	camp de vent: a cada punt x,y,z,t se li assigna un vector (direcció i mòdul)	camp vectorial quàntic: a cada punt x,y,z,t se li assignen tres (3 graus de llibertat) funcions de probabilitat d'energia -1: transversal a l'eix de la propagació 0: longitudinal (eix de la propagació) si existeix: té massa; no pot arribar a la velocitat de la llum si no existeix: no té massa; pot arribar a la velocitat de la llum 1: transversal a l'eix de propagació
	3/2
	2			gravitons?

Famílies de camps

	estadística	descrit per	partícula	espín
camps fermiònics	Fermi-Dirac: exclusió de Pauli	camp espinorial	fermió	1/2	camp espinorial	camp d'electrons camp de quarks camp de neutrins
camps bosònics	Bose-Einstein: admeten superposició	camps tensorials	bosó escalar	0	camp escalar	camp de Higgs H H1, H2, H3: aporten la component longitudinal dels bosons Z, W+, W- i fan que tinguin massa
			bosó de gauge	1	camp vectorial	camp de fotons mediadors de la interacció feble camps W+. W-, Z mediadors de la interacció forta gluons

Partícules

				partícula (elemental / composta)
fermions	quarks u/d c/s t/b	hadrons	mesons (# parell de quarks)	pió kaó ...
			barions (# imparell de quarks)	...
				neutró	nucli	àtom
				protó	nucli
	leptons			electró
	leptons			muó tauó neutrí electrònic neutrí muònic neutrí tauònic
bosons	gauge			gluó fotó bosó Z bosons W
bosons	escalars			bosó H

Partícules elementals

Model estàndard / Standard model
Elementary particles (partícules i forces)

...

fermions

bosons

funció

tres generacions de la matèria

interaccions/transmissors de forces

estadística

Fermi-Dirac (exclusió de Pauli)

Bose-Einstein (superposició)

espín

espín 1/2

espín 1 / de gauge

espín 0 / escalars

generació ->

III

quarks

^2.2M	u (dalt/up)
^2/3
^1/2

^1.28G	c (encant/charm)
^2/3
^1/2

^173G	t (cim/top)
^2/3
^1/2

^4.7M	d (baix/down)
^-1/3
^1/2

^96M	s (estrany/strange)
^-1/3
^1/2

^4.18G	b (fons/bottom)
^-1/3
^1/2

leptons

^0.5M	e (electró)
^-1
^1/2

^105.66M	μ (muó)
^-1
^1/2

^1.77G	τ (tauó)
^-1
^1/2

^<1	ν_e (neutrí electrònic)
⁰
^1/2

^<0.17M	ν_μ (neutrí muònic)
⁰
^1/2

^<18.2M	ν_τ (neutrí tauònic)
⁰
^1/2

partícula

interacció

⁰	g (gluó)
⁰
¹

forta

⁰	γ (fotó)
⁰
¹

electromagnètica

^91.19G	Z (bosó Z)
⁰
¹

feble

^80.37G	W (bosó W)
^±1
¹

^124G	H (bosó de Higgs)
⁰
⁰

Llegenda:
- massa (eV/c²)
- càrrega (e)
- espín

...

Física nuclear

Models atòmics

la massa del nucli sempre és més petita que la suma de les masses dels nucleons:

M(\multiscripts{_Z^A}{X}{}) < m_p Z + m_n (A-Z)

el defecte de massa (\Delta m) es transforma en energia d'enllaç: E = \Delta m · c^2

Energia d'enllaç:

l'energia d'enllaç de la formació	és de l'ordre	reaccions
d'un àtom	MeV	nuclears
d'una molècula	eV	químiques

tendència a la màxima estabilitat (energia potencial mínima):

els elements pesats es desintegren (fissió) fins a esdevenir ferro (té l'energia d'enllaç per nucleó més gran de tots els elements)
els elements lleugers es combinen (fusió) fins a esdevenir ferro

Estabilitat nuclear i radioactivitat

l'aparellament d'un neutró i un protó confereix una certa estabilitat (per a Z<30)
la força nuclear forta manté units els nucleons (protons i neutrons)
en un ncli hi participen tres forces

gravitatòria entre nucleons: negligible
forces elèctriques de repulsió entre protons
forces nuclears d'atracció entre nucleons

per a valors petits de Z, la repulsió electrostàtica entre els protons està compensada per la força nuclear forta d'atracció dels nucleons, de manera que el nombre de protons és aproximadament igual al nombre de neutrons. Però quan Z és gran, per compensar la repulsió electrostàtica entre protons llunyans, atès que la força nuclear forta és de curt abast, ha d'augmentar el nombre de neutrons respecte dels protons per tal que predomini la força nuclear forta d'atracció.
a partir de Z > 83, els nuclis són inestables i ja no és possible compensar l'estabilitat amb un augment de neutrons per tal que la força nuclear sigui més gran que la força elèctrica: elements radioactius naturals
(figura energia potencial partícula alfa que s'apropa al nucli)
(figura banda d'estabilitat)

si un nucli es troba per sota de la banda d'estabilitat, conté un excés de protons i, seguint uns mecanismes determinats, troba l'estabilitat fins que la relació N/Z augmenta, i així se situa en la banda d'estabilitat.
si el nucli es troba per sobre de la banda d'estabilitat, conté un excés de neutrons, i evolucionarà fins a aconseguir que la relació N/Z disminueixi, i se situï en la banda d'estabilitat.

Mecànica quàntica

...
Bibliografia
- «El bosón de Higgs», David Blanco
Info
- una partícula és una pertorbació en un camp quàntic
- ...

Nomenclatura

The Language of Quantum Physics is Strange | PHYSICS EXPLAINED (Parth G)
Some light quantum mechanics (with minutephysics) (3Blue1Brown)
- kets, superposisició, camps electromagnètics, equacions de Maxwell, ones

...

			propietats
bra-ket	bra	\langle \Psi \|	inner product is 1: \langle \Psi \| \Psi \rangle = 1
bra-ket	ket	\| \Psi \rangle	inner product is 1: \langle \Psi \| \Psi \rangle = 1

Superposició d'un estat quàntic

estat quàntic		quan es fa una observació, deixa d'haver-hi superposició d'estats i l'estat col·lapsa cap a una de les components, amb probabilitat:
\| \Psi \rangle = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \|\uparrow\rangle + \left(\frac{1}{2}\right) \|\downarrow\rangle	\|\uparrow\rangle (spin up) i \|\downarrow\rangle (spin down) són dos vectors ortogonals d'un espai abstracte (Hilbert). Per tant el seu inner product és zero: \langle\downarrow\|\uparrow\rangle = 0	cap a l'eix \| \uparrow \rangle amb probabilitat \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^2 = \frac{3}{4}
		cap a l'eix \| \downarrow \rangle amb probabilitat \left( \frac{1}{2} \right) ^2 = \frac{1}{4}

Equació de Schrödinger

Schrodinger Equation Explained - Physics FOR BEGINNERS

...

...
i\hbar\frac{d}{dt}\|\Psi\rangle = \hat{H} \|\Psi\rangle

Components de camps vectorials quàntics

força			transversal (-1)	transversal (1)	longitudinal (0) (la component del camp de Higgs proporciona la massa)
electromagnètica	fotó	γ	W₃	B	-	no té massa
feble	bosó	Z	W₃	B	H₁
		W⁺	W₁	W₂	H₂
		W^-	W₁	W₂	H₃

http://www.francescpinyol.cat/fisica.html
Primera versió: / First version: 2022
Darrera modificació: 7 de setembre de 2023 / Last update: 7th September 2023

Cap a casa / Back home.