Física

Índex

Cinemàtica
Dinàmica
Camps

Camp gravitatori
Camp elèctric
Camp magnètic
Equacions de Maxwell

Electricitat

Corrent altern

Corrent altern trifàsic

Màquines elèctriques

Generador elèctric

Dinamo
Alternador

Motor elèctric
Transformador

Ones
Mecànica lagrangiana i hamiltoniana
Mecànica quàntica

General

Mecànica

Tipus
- clàssica:
- quàntica:
- relativista:

Aplicació:

v (m/s)
10⁸
10⁶
10⁴
10²
0	10^{-14}	10^{-10}	10^{-6}	10^{-2}	10^2	10^6	10^10	10^14	10^18	d (m)

Cinemàtica (moviment)

	vectorial	rectilini	vectorial	circular
posició	posició \vec{r}(m)\vec{r}(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j}	posició x (m) components: component x: x = x_0 + v_{0x}t + \frac{1}{2}a_xt^2 component y: y = y_0 + v_{0y}t + \frac{1}{2}a_yt^2		angle \varphi (rad): \varphi = \varphi_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2	arc s (m): s = \varphi R s = s_0 + v_0 t + \frac{1}{2}a_t t^2
velocitat	velocitat \vec{v} (m/s) \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} vector: mòdul (celeritat) direcció: la del moviment	velocitat lineal v (m/s): v_x = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{dx}{dt} v_x = v_{0x} + at	velocitat angular \vec{\omega} (rad/s) vector: mòdul: \omega = \frac{d\varphi}{dt} direcció: perpendicular al pla de gir	velocitat angular \omega (rad/s)\omega = \frac{\Delta \varphi}{\Delta t} = \frac{d\varphi}{dt} \omega = \omega_0 + \alpha t \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f	velocitat lineal v (m/s): v = \omega R
acceleració	acceleració \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}\vec{a} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} components:\vec{a} = \vec{a_t} + \vec{a_n} tangencial (canvi de mòdul): mateixa direcció que la velocitat, amb mòdula_t = \frac{dv}{dt} normal (canvi de direcció): perpendicular a la velocitat, cap al centre, amb mòdula_n = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R	acceleració tangencial a (m/s²): a = \frac{\Delta v}{\Delta t}	acceleració angular \vec{\alpha} (rad/s²) vector: mòdul:\alpha = \frac{d\omega}{dt} direcció: perpendicular al pla de gir	acceleració angular \alpha (rad/s²) \alpha = \frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \frac{d\omega}{dt}	acceleració tangencial (canvi de mòdul) i acceleració normal (canvi de direcció): \begin{cases} a_t = \alpha R \\ a_n = \frac{v^2}{R}=\omega^2 R \end{cases}

Moviment combinat (p.ex., en tir parabòlic: a = -g):

velocitat inicial	\left\{ \begin{array}{r} v_{0x} = v_0 \cos{\alpha} \\ v_{0y} = v_0 \sin{\alpha} \end{array} \right.
posició	\left. \begin{array}{r} x = x_0 + v_0 \cos(\alpha) t \\ y = y_0 + v_0 \sin(\alpha) t + \frac{1}{2}at^2 \end{array} \right\} y = y_0 + (x - x_0) \tan(\alpha) + \frac{a (x-x_0)^2}{2v_0^2 \cos^2(\alpha)}
abast horitzontal màxim: x quan y=0
alçada màxima: y quan t fa que v_y = 0	v_y = v_{0y} + a t

Acceleració normal:

\frac{\Delta r}{r} =\frac{\Delta v}{v}

\frac{\Delta r}{r \Delta t} =\frac{\Delta v}{v \Delta t}

\frac{v \Delta r}{r \Delta t} =\frac{\Delta v}{\Delta t}

\frac{v^2}{r} = a_n

Dinàmica (forces)

Lleis de Newton:

	Acceleració: \vec{a} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}	Quantitat de moviment o moment lineal / Momentum: \vec{p} = m \vec{v}	Impuls [N·s]: \vec{I} = \vec{F} \Delta t = \int_{t_0}^{t} \vec{F} dt
Primera: principi d'inèrcia	\sum_{i} \vec{F}_{i} = 0 \leftrightarrow \vec{a} = 0 \leftrightarrow \vec{v} = C	\sum_{i} \vec{F}_{i} = 0 \leftrightarrow \Delta \vec{p} = 0 \leftrightarrow \vec{p} = C
Segona: principi fonamental de la dinàmica	\sum_{i} \vec{F}_{i} = m \vec{a}	Principi fonamental de la dinàmica: \sum_{i} \vec{F}_{i} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta{t}} = \frac{d\vec{p}}{dt}	Teorema de l'impuls mecànic:\vec{I} = \Delta \vec{p}
Tercera: principi d'acció-reacció		Principi de la conservació de la quantitat de moviment (Noether): si no hi ha forces externes, la quantitat de moviment total es manté constant \vec{p}_{T} = \sum_{i} \vec{p}_{i} = C\sum_{i} \Delta \vec{p}_{i} = 0

Energia i potència

Força [N]	Treball [J]		Potència [W] (1 CV = 736 W)
Llei de Newton:\vec{F} = m \vec{a}	W = \vec{F} · \Delta \vec{x} = F · \Delta x · \cos{\alpha}W = \vec{F} \cdot \Delta \vec{r} si la força no és constant (p.ex. en camps no uniformes): W = \int_{\vec{r_a}}^{\vec{r_b}} \vec{F} \cdot d\vec{r}(àrea sota la funció força, delimitada pels punts a i b)		P = \frac{\Delta W}{\Delta t} = \frac{dW}{dt}P = \Gamma \href{#velocitat_angular}{\omega}(\Gamma: parell motor; \omega: velocitat angular)
	Teorema del treball i l'energia:W = \Delta E_c W_{\text{sistema}} = - \Delta E_p W_{\text{exterior}} = \Delta E_p
	Energia (J) capacitat d'un cos de realitzar un treball
\vec{F} = m \vec{a}	Energia cinètica:E_c = \frac{1}{2} m v^2	Energia mecànica:E_m = E_c + E_p
Força gravitatòria:\vec{F} = m \vec{g}	Energia potencial gravitatòria:E_{pg} = mgh
Llei de Hooke:\vec{F} = k \vec{\Delta x}	Energia potencial elàstica:E_{pe} = \frac{1}{2} k (\Delta x)^2
	Energia potencial elèctrica
Força de fregament estàtic: F_{fe} =\mu_e N Força de fregament dinàmic: F_{fd} =\mu_d N
	E =m c^2 Energia cinètica relativista: E_c = m c^2 - m_0 c^2 m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}

Energia cinètica: treball necessari perquè el cos adquireixi una velocitat constant a partir del repòs \left. \begin{array}{r} E_c = W = F·\Delta x · \cos(\alpha) \\ F = m a \\ \Delta x = \frac{1}{2} a (\Delta t)^2 \end{array} \right\} \Rightarrow \quad E_c = m a · \frac{1}{2} a (\Delta t)^2 = \frac{1}{2} m (a \Delta t)^2 = \frac{1}{2} m v^2

Conservació de l'energia (Noether)

...

camp conservatiu	el treball realitzat per les forces d'un camp conservatiu només depèn de les posicions inicial i final: W_{\text{cicle}} = \oint \vec{F} \cdot d\vec{r} = 0	Conservació de l'energia mecànica per a forces conservatives: \left . \begin{aligned} W &= \Delta E_c \\ W &= - \Delta E_p \end{aligned} \right\} \Rightarrow \quad \Delta E_c = - \Delta E_p \quad \Rightarrow \quad \Delta E_c + \Delta E_p = 0 L'energia mecànica es manté constant: \boxed{\Delta E = 0}	Força gravitatòria: \left. \begin{aligned} E_p &= mgh \\ E_c &= \frac{1}{2} m v^2 \end{aligned} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} v_f &= \sqrt{2gh} \\ h_0 &= \frac{v_f^2}{2g} \end{aligned} \right.
			Força elàstica: \left. \begin{aligned} E_p &= \frac{1}{2} k x^2\\ E_c &= \frac{1}{2} m v^2 \end{aligned} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} v &= x \sqrt{\frac{k}{m}} \\ x &= v \sqrt{\frac{m}{k}} \end{aligned} \right.
camp no conservatiu		Variació de l'energia mecànica quan actuen forces no conservatives \left . \begin{aligned} W &= \Delta E_c \\ W &= - \Delta E_p + W_{fnc} \end{aligned} \right\} \Rightarrow \quad \Delta E_c = - \Delta E_p + W_{fnc} \quad \Rightarrow \quad \Delta E_c + \Delta E_p = W_{fnc} El treball realitzat per forces no conservatives és igual a la variació de l'energia mecànica: \boxed{\Delta E = W_{fnc}}	Termodinàmica: principi zero Q = c·m·\Delta T primer principi: \Delta U = Q - W segon principi tercer principi
			Força de fregament
			Força externa

Xocs

Principi de la conservació de la quantitat de moviment

...

	situació dels cossos després del xoc	coeficient de restitució: k = \frac{-(v_1' - v_2')}{v_1 - v_2}	quantitat de moviment: p = m \vec{v}	energia cinètica	exemples
xoc elàstic: els cossos només es deformen durant la interacció	lliures	k = 1	es conserva: m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{v_2} = m_1 \vec{v_1'} + m_2 \vec{v_2'} m_1 (\vec{v_1} - \vec{v_1'}) = m_2 (\vec{v_2'} - \vec{v_2})	es conserva: \frac{1}{2} m_1 \vec{v_1}^2 + \frac{1}{2} m_2 \vec{v_2}^2 = \frac{1}{2} m_1 \vec{v_1'}^{2} + \frac{1}{2} m_2 \vec{v_2'}^{2} m_1 (\vec{v_1}^2 - \vec{v_1'}^{2}) = m_2 (\vec{v_2'}^{2} - \vec{v_2}^2) tenint en compte la conservació de la quantitat de moviment: \boxed{\vec{v_1} + \vec{v_1'} = \vec{v_2} + \vec{v_2'}}	partícules elementals boles rígides
xoc inelàstic: una part de l'energia es perd en calor i deformació	lliures	0 < k < 1		no es conserva
xoc perfectament inelàstic	units	k = 0		no es conserva	projectil incrustat pèndul balístic

Engranatges

U2 Mecanismes de transmissió de moviment

relació de transmissió mitjançant diversos engranatges de z dents:

relació de transmissió (i: incial, f: final)	velocitat angular	parell motor\Gamma = F·r(N·m)	potènciaP = \Gamma \omega
i_{i\rightarrow f} = r_t = \frac{\prod_{impulsores}z_{j}}{\prod_{impulsades}z_{k}} = \frac{\omega_f}{\omega_i} =\frac{\Gamma_i}{\Gamma_f}	\omega_f = \omega_i i_{i\rightarrow f}	\Gamma_f = \frac{\Gamma_i}{i_{i\rightarrow f}}	P_f = \eta P_i

Camps

Classificació dels camps físics:

camp escalar					temperatura pressió densitat ...
camp vectorial	velocitats acceleracions
	forces	camp conservatiu	camp uniforme: intensitat de camp constant (línies de camp paral·leles i equidistants)
			camp central (forces dirigides cap a un punt)	newtonià (inversament proporcional al quadrat de la distància)	gravitatori elèctric
			camp central (forces dirigides cap a un punt)	no newtonià
		camp no conservatiu			magnètic

Camps

vector

escalar

camp

força = magnitud · intensitat

\vec{\text{intensitat del camp de forces}} = \frac{\vec{\text{Força}}}{\text{magnitud física de la partícula}}

potencial

energia potencial = magnitud · potencial
(energia del sistema de la qual podem disposar per a fer un treball)

gravitatori

Llei de gravitació universal (Newton)\boxed{\vec{F} = -G \frac{m m'}{r^2} \vec{u}}on:

el signe negatiu indica que la força és sempre d'atracció
\vec{F}: força que actua sobre m' a causa de la massa m
\vec{u}: vector unitari que va de m cap a m' (oposat al sentit de la força)
parell d'acció-reacció: \vec{F}_{12} = - \vec{F}_{21}
constant de la gravitació universal: G = 6,67·10^{-11}\:\text{N·m²/kg²}

per a la Terra:

M_T = 5,98·10^24\:\text{kg}
R_T = 6,38·10^6\:\text{m}

Relació amb el camp gravitarori: \boxed{ \vec{F} = m \vec{g} }

Intensitat de camp gravitatori (N/kg): \vec{g} = \frac{\vec{F}}{m'}

\boxed{\vec{g} = -G \frac{m}{r^2} \vec{u}}

A la superfície de la Terra: \vec{g}_0 = 9,8\:\text{m/s²}

Relació entre el camp gravitatori i el potencial: \left. \begin{array}{r} \Delta E_p = -W \Rightarrow dE_p = - \vec{F} \cdot d\vec{r} \Rightarrow \frac{dE_p}{m} = - \frac{\vec{F} \cdot d\vec{r}}{m}\\ E_p = m V \Rightarrow \frac{dE_p}{m} = dV \\ \frac{\vec{F}}{m} = \vec{g} \end{array} \right\} \Rightarrow dV = - \vec{g} \cdot d\vec{r}
en mòdul: \boxed{g = -\frac{dV}{dx}}

La intensitat de camp gravitatori té el sentit en què el potencial disminueix. Per tant:

una massa lliure m' es desplaça en el mateix sentit del camp gravitatori i cap a potencials més petits (encara més negatius)

Potencial gravitatori d'una massa puntual m en un punt A:
treball, canviat de signe, realitzat per la força gravitatòria que efectua
la massa m per a desplaçar una altra massa de prova d'1 kg des de l'infinit fins a A \boxed{V_A = - W_{\infty \to A}}

V_{\infty} = 0

V_A = - W_{\infty \to A} = - \int_{\infty}^{r_{A}} \vec{F} \cdot d\vec{r}= - \int_{\infty}^{r_{A}} -G \frac{m·1}{r^2} \vec{u} \cdot d\vec{r} = -G \frac{m}{r_A}

\boxed{V = -G \frac{m}{r}}

Potencial gravitatori generat
per una massa m

Energia potencial gravitatòria (sempre negativa): treball efectuat per la força gravitatòria
per moure una massa m' des de l'infinit fins a A E_{pA} =m' V_A

\boxed{E_p = -G \frac{mm'}{r}}

Si la mateixa força gravitatòria mou una massa des d'un punt inicial (lluny) a un final (a prop), el treball, fet pel sistema, és positiu: W_{\text{sistema}} = -m' \Delta V= -m'(V_f - V_i) = - (E_{pf} - E_{pi}) = - \Delta E_p > 0
Si unes forces externes, oposades a la força gravitatòria, han de moure una massa des d'un punt inicial (a prop) a un punt final (lluny), el treball, fet per les forces externes, és negatiu: W_{\text{forces externes}} = m' \Delta V = m'(V_f - V_i) = (E_{pf} - E_{pi}) = \Delta E_p < 0

		W_sistema	W_{forces_externes}
m' es desplaça en el sentit de l'atracció	ΔE_p<0	>0	<0
m' es desplaça en el sentit oposat a l'atracció	ΔE_p>0	<0	>0

Conservació de l'energia, per ser un camp conservatiu: \Delta E_c + \Delta E_p = 0

Velocitat d'escapament: des de la superfície de la Terra fins a l'infinit,
on l'energia potencial és nul·la i hi ha d'arribar amb velocitat nul·la \left. \begin{array}{r} \text{a la superfície de la Terra:}\: E = E_c + E_p\\ \text{a l'infinit:}\:E' = E_c' + E_p' = 0 + 0 = 0 \end{array} \right\} \Rightarrow \frac{1}{2} m v_0^2 - G \frac{mM_T}{R_T} = 0 \Rightarrow v_0 = \sqrt{\frac{2GM_T}{R_T}}

Velocitat i energia mecànica d'un satèl·lit de massa m que gira al voltant d'un cos de massa M: \left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} \sum{F} = F_g = G \frac{Mm}{r^2} \\ a_t = \frac{v^2}{r} \end{array} \right\} \sum{F} = ma \Rightarrow G \frac{Mm}{r^2} = m\frac{v^2}{r} \Rightarrow \boxed{v = \sqrt{\frac{GM}{r}}} \\ E_c = \frac{1}{2}m v^2 \end{array} \right\} E_c = \frac{1}{2} G \frac{Mm}{r} \\ E_p = - G \frac{Mm}{r} \end{array} \right\} E = E_c + E_p = - \frac{1}{2} G \frac{Mm}{r}

elèctric

Llei de Coulomb: \boxed{\vec{F_e} = K \frac{QQ'}{r^2}\vec{u}} on:

Q és la càrrega, expressada en coulombs (C)
1C és la càrrega de 6,24·10¹⁸ electrons
1 electró té una càrrega de 1,602·10^-19 C
constant elèctrica K=\frac{1}{4\pi\epsilon}, on \epsilon és la permitivitat del medi (en el buit: K=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}=9·10^9 \frac{\text{N·m²}}{\text{C²}})
permitivitat relativa: \epsilon_r = \frac{\epsilon}{\epsilon_0}
si les càrregues:
- tenen el mateix signe, la força és repulsiva
- tenen signe oposat, la força és atractiva

Relació amb el camp elèctric: \boxed{ \vec{F_e} = Q \vec{E} }

Intensitat de camp elèctric (N/C): \vec{E} = \frac{\vec{F}}{Q'}

\boxed{\vec{E} = K \frac{Q}{r^2}\vec{u}}

Com que considerem que Q' és positiva, quan:

la càrrega Q és positiva, les línies del camp surten de la càrrega
la càrrega Q és negativa, les línies del camp entren cap a la càrrega

Si la càrrega és no puntual i contínua:

\vec{E} = \int K \frac{dQ}{r^2}\vec{u} = \int_{V'}K \frac{\rho dV'}{r^2}\vec{u}

Relació entre el camp elèctric i el potencial:

\left. \begin{array}{r} \Delta E_p = -W \Rightarrow dE_p = - \vec{F} \cdot d\vec{r} \Rightarrow \frac{dE_p}{Q} = - \frac{\vec{F} \cdot d\vec{r}}{Q}\\ E_p = Q V \Rightarrow \frac{dE_p}{Q} = dV \\ \frac{\vec{F}}{Q} = \vec{E} \end{array} \right\} \Rightarrow dV = - \vec{E} \cdot d\vec{r}

en mòdul: \boxed{E = -\frac{dV}{dx}}
si el camp elèctric és constant:

E = - \frac{\Delta V}{\Delta x}

\Delta V = -E \Delta x La intensitat de camp elèctric té el sentit en què el potencial disminueix. Per tant:

una càrrega positiva lliure es desplaça en el mateix sentit del camp elèctric i cap a potencials més petits
una càrrega negativa lliure es desplaça en sentit contrari al camp elèctric i cap a potencials més grans

Potencial elèctric (volt: V) d'una càrrega puntual Q en un punt A:
treball, canviat de signe, que realitza la força elèctrica efectuada per la càrrega Q quan desplaça una altra càrrega puntual de +1 C des de l'infinit fins a A

V_A = -W_{\infty \rightarrow A}

V_{\infty} = 0

V_A = -W_{\infty \rightarrow A} = - \int_{\infty}^{r_A} K \frac{Q·1}{r^2}\vec{u} \cdot d\vec{r} = -KQ \left[ \frac{-1}{r} \right]_{\infty}^{r_A} = K \frac{Q}{r_A}

\boxed{V=K\frac{Q}{r}}

Potencial elèctric càrrega negativa — Potencial elèctric creat per
una càrrega negativa

Potencial elèctric càrrega positiva — Potencial elèctric creat per
una càrrega positiva

Diferència de potencial entre dos punts A i B: treball, canviat de signe, realitzat per la força elèctrica per desplaçar una càrrega punual de +1 C des de B fins a A: \Delta V = V_A - V_B = -W_{B \rightarrow A}

Energia potencial elèctrica: treball, canviat de signe, per desplaçar una càrrega Q' des de l'infinit fins a A

E_{pA} = Q' V_A

\boxed{E_p = K \frac{QQ'}{r}}

Si l'energia potencial és:

negativa, les forces són atractives; el sistema és estable
positiva, les forces són repulsives; el sistema és inestable

El treball realitzat pel sistema, quan dues càrregues molt separades s'apropen:
W_{\text{sistema}} = -\Delta E_p = - (E_{pA}-E_{p\infty}) = -(E_{pA}-0) = - E_{pA} = -K \frac{QQ'}{r} (donades dues càrregues de signe oposat, si es volen apropar, no cal fer res, ho farà el sistema, perquè es va des d'un potencial més alt, negatiu o zero, a un potencial més baix, encara més negatiu)
El treball fet per les forces externes és: W_{\text{forces externes}} = \Delta E_p = K \frac{QQ'}{r} (donades dues càrregues del mateix signe, si es volen apropar, caldrà que unes forces externes facin un treball positiu, perquè es va des d'un potencial més baix, positiu, a un potencial més alt, encara més positiu)

Variació de l'energia potencial del sistema: treball, canviat de signe, per desplaçar una càrrega Q' des d'un punt A fins a un punt B, en presència d'una càrrega Q

W = -\Delta E_p = -(E_{pB}-E_{pA}) = -(Q'V_B - Q'V_A) = -Q'(V_B-V_A) = -Q'\Delta V

		W_sistema	W_{forces_externes}
les càrregues es mouen per la força elèctrica	ΔE_p<0	>0	<0
les forces externes actuen de forma oposada a la força elèctrica, per a poder moure les càrregues	ΔE_p>0	<0	>0

Conservació de l'energia, per ser un camp conservatiu

\Delta E = \Delta E_c + \Delta E_p = 0

Energia mecànica d'un electró (-e) que gira al voltant d'un protó (+e): \left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} \sum{F} = F_e = K \frac{e^2}{r^2} \\ a_t = \frac{v^2}{r} \end{array} \right\} \sum{F} = m·a \Rightarrow K\frac{e^2}{r^2} = m \frac{v^2}{r} \Rightarrow K\frac{e^2}{r} = mv^2\\ E_c = \frac{1}{2}mv^2 \end{array} \right\} E_c = \frac{1}{2} K \frac{e^2}{r}\\ E_p = -K \frac{e^2}{r} \end{array} \right\} E = E_p + E_c = -\frac{1}{2} K\frac{e^2}{r}

Electronvolt (eV): energia cinètica que adquireix un electró quan supera una diferència de potencial d'1 V 1 \text{eV} = q_e \DeltaV = 1,602·10^{-19} \text{C} · 1 \text{V} = 1,602·10^{-19} \text{J}

magnètic

Força de Lorentz sobre una càrrega amb velocitat v dins d'un camp magnètic:

\boxed{\vec{F_m} = Q (\vec{v} \times \vec{B})}

mòdul (producte vectorial): \boxed{F = |Q| v B \sin{(\alpha)}}
direcció i sentit: segons la regla de la mà dreta
- per a una càrrega positiva, polze perpendicular al pla format per \vec{v} i \vec{B}
- dits en el sentit de l'angle més petit des de \vec{v} fins a \vec{B}
la força és nul·la quan:
- la càrrega es mou segons les línies del camp \vec{B}, perquè \sin{0}=0
- la càrrega està en repòs

En presència d'un camp magnètic constant, la força sobre:

... exercida sobre

en presència d'un camp magnètic constant, la força ...

conductor rectilini

\left. \begin{array}{r} v = \frac{\Delta l}{\Delta t} \\ I = \frac{\Delta Q}{\Delta t} \Rightarrow \Delta Q = I \Delta t \\ \Delta F = \Delta Q v b \sin{\alpha} \end{array} \right\} \Delta F = I \Delta t \frac{\Delta l}{\Delta t} B \sin{\alpha} = I \Delta l B \sin{\alpha}

\sum_{i=1}^{n} F_i = I \sum_{i=1}^{n} \Delta l_i B \sin{\alpha}

\boxed{ \vec{F}_{\text{total}} = I (\vec{l} \times \vec{B}) }

espira

Llei de Laplace: el parell de forces dels trams perpendiculars al camp magnètic faran que l'espira giri fins a col·locar-se en paral·lel amb el camp magnètic

mòdul: \boxed{F = BLI \sin{\varphi}}
direcció segons la regla de la mà esquerra (esquema):

F: polze
B: índex
I: mig

Aplicacions:

motor elèctric (*)

Forces entre dos conductors paral·lels infinits:
cada conductor crea un camp magnètic i crea una força sobre l'altre conductor

\left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} B_1 = \mu_0 \frac{I_1}{2\pi d} \\ F_2 = I_2 l B_1 \sin{90^\circ} \end{array} \right\} F_2 = \mu_0 \frac{I_1 I_2 l}{2 \pi d} \\ \left. \begin{array}{r} B_2 = \mu_0 \frac{I_2}{2\pi d} \\ F_1 = I_1 l B_2 \sin{90^\circ} \end{array} \right\} F_1 = \mu_0 \frac{I_1 I_2 l}{2\pi d} \end{array} \right\}

Si els corrents tenen:

el mateix sentit: els conductors s'atreuen
sentit contrari: els conductors es repel·leixen

Definició d'ampere: si per dos conductors rectilinis i paral·lels, separats per un metre de distància, passen dos corrents amb la mateixa intensitat i la força per unitat de longitud sobre cada conductor és de 2·10^-7 N/m, diem que per cada conductor circula un corrent d'un ampere.

\frac{F_1}{l} = \frac{F_2}{l} = \mu_0 \frac{I_1 I_2}{2 \pi d} = \frac{4 \pi 10^{-7}·1\text{A}·1\text{A}}{2\pi · 1 \text{m}} = 2·10^{-7} \text{N/m}

Intensitat de camp magnètic (inducció) (Tesla T; Gauss G) (1 T = 10⁴ G):

\vec{B}

Les línies del camp magnètic:

surten del pol N
entren al pol S

El moviment d'un electró al voltant del nucli genera un camp magnètic.

Moment dipolar magnètic d'una espira o un electró:
\boxed{\vec{m} = I \vec{S}} on:

I: intensitat de corrent elèctric
\vec{S}: vector superfície, perpendicular al pla de l'espira, amb el sentit de la regla de la mà dreta, com si fossin les càrregues positives les que creen el corrent (en realitat és al revés) i tenen una velocitat
el camp B creat té la mateixa direcció i sentit que el moment dipolar magnètic

Camp magnètic creat per un corrent elèctric:

Ørsted: un corrent elèctric (càrregues en moviment) crea un camp magnètic
(El Experimento de Oersted: Procedimientos)
Tota càrrega en moviment crea un camp magnètic.
El moviment d'un electró al voltant del nucli genera un camp magnètic.
Una espira de corrent es comporta com un imant.

... creat per	camp magnètic ...
un diferencial de conductor, a qualsevol punt	Llei de Biot-Savart: d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I·d\vec{l}\times\vec{u}_r}{r^2}
conductor rectilini infinit	Camp magnètic creat per un conductor rectilini Llei d'Ampère: \boxed{B = \mu \frac{I}{2 \pi r}} on: r: distància al conductor
una espira amb corrent	Camp magnètic creat per una espira amb corrent Al centre de l'espira: \left. \begin{array}{r} B = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{I·dl}{R^2} \\ \int dl = 2\pi R \end{array} \right\} \boxed{B = \mu \frac{I}{2R}} on: R: radi de l'espira
un solenoide (bobina), que pot tenir un nucli ferromagnètic que crearà un camp magnètic que se suma al de la bobina (electroimant)	\left. \begin{array}{r} B = \mu \frac{NI}{L} \\ n = \frac{N}{L} \end{array} \right\} B = \mu n I on: N: nombre d'espires L: longitud del solenoide n: densitat d'espires

on:

\mu: permeabilitat del medi (Tm/A)
- aire: \mu_0 = 4\pi·10^{-7} \text{Tm/A}
- permeabilitat relativa: \mu_r = \frac{\mu}{\mu_0}

Davant d'un camp magnètic extern, segons el grau d'imantació, un material pot ser:

diamagnètic (\mu_r<1): s'indueix un moment dipolar magnètic molt feble, de sentit contrari. P.ex.: bismut, coure, diamant, or, zenc, plata, mercuri, aigua
paramagnètic (\mu_r \approx 1): els àtoms s'arrengleren de manera feble. P.ex.: alumini, titani, tungstè, estany, crom, oxigen
ferromagnètic (\mu_r > 1): s'indueix un arrenglerament molt alt i poden quedar imantats. P.ex.: ferro pur, cobalt, níquel, neodimi, aliatges d'aquests materials (acer, ...)

Components de la inducció B (efecte):

permeabilitat µ: depèn del material que sustenta el camp magnètic
intensitat o excitació del camp magnètic H (causa): depèn exclusivament de les característiques del circuit que crea el camp: H = \frac{B}{\mu} \boxed{H = \frac{NI}{L} (\text{A/m})} La gràfica B(H) és lineal al voltant de l'origen, però després s'aplana (saturació)

Força magnetomotriu (A) d'un circuit magnètic homogeni:
\mathrm{FMM} = NI = H l_m si el circuit és heterogeni:
\sum \mathrm{FMM} = \sum N_i I_i = \sum H_i l_{mi} on:

l_m: longitud mitjana del circuit

Flux del camp magnètic (weber, Wb):

\boxed{ \Phi = \vec{B} \cdot \vec{S} }

en mòdul (producte escalar): \Phi = B S \cos \varphi
ens indica la quantitat de línies de camp que travessen una superfície
si el camp magnètic no és uniforme:
\Phi = \int \vec{B} \cdot \vec{S}

FEM (força electromotriu) induïda (volts, V), creada en un conductor que es mou dins d'un camp magnètic:

FEM induïda en un conductor rectilini — Forces dins d'un conductor

\left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} \vec{F}_m = Q(\vec{v}\times \vec{B}) \\ \vec{F}_e = Q \vec{E} \end{array} \right\} \text{en equilibri:}\quad \vec{F}_m + \vec{F}_e = 0 \quad \Rightarrow \quad E = v B \sin{\alpha} \\ \Delta V = \mathcal{E} = El \end{array} \right\} \boxed{\mathcal{E} = v B l \sin{\alpha}}

on:

B: inducció (T)
v: velocitat (m/s)
l: longitud del conductor (m)
\alpha: angle que forma \vec{v} amb \vec{B}

Sentit del corrent induït, segons la regla de la mà dreta:

índex: camp magnètic
polze: moviment
mig: corrent

Llei de Faraday: la FEM induïda en un circuit tancat és directament proprcional a la variació de flux magnètic que travessa la superfície definida pel circuit respecte el temps

Variació flux en una espira — Conductor rectilini mòbil formant una espira

\left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} \Delta \href{#flux_camp_magnetic}{\Phi} = B · \Delta S \\ \Delta S = l · v\Delta t \end{array} \right\} \Delta \Phi = B (l v \Delta t) \Rightarrow \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = Bvl \\ \href{#fem_induida}{\mathcal{E}} = Bvl \sin{\frac{\pi}{2}} = Bvl \end{array} \right\} \boxed{ \mathcal{E} = \frac{\Delta\Phi}{\Delta t}}

Llei de Faraday-Lenz: la FEM induïda en un circuit tancat és directament proporcional a la variació respecte el temps del flux magnètic que travessa la superfície definida pel circuit, de manera que el sentit del corrent induït és que dóna un efecte que s'oposa a la causa que el produeix.

\mathcal{E} = - \frac{\Delta\Phi}{\Delta t}

\boxed{\mathcal{E} = - \frac{d\Phi}{d t}}

el sentit del corrent induït és tal que s'oposa a la causa que el produeix;
el flux creat per un corrent induït té un sentit que s'oposa a la variació del flux que el crea
el corrent serà més intens com més ràpides siguin les variacions de flux magnètic.

Lenz: imant s'apropa — Un imant s'apropa
a una espira

FEM alterna induïda en una espira que gira dins d'un camp magnètic uniforme:

\left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} \Phi(t) = BS \cos \varphi \\ \varphi = \omega t \end{array} \right\} \Phi(t) = BS \cos{(\omega t)} \\ \mathcal{E} = - \frac{d \Phi}{dt} \end{array} \right\} \boxed{ \mathcal{E}(t) = BS \omega \sin{(\omega t)}} \left\{ \begin{array}{l} \mathcal{E}(t) = \mathcal{E}_{0} \sin{(\omega t)} \\ \mathcal{E}_{0} = \mathcal{E}_{\text{màx}} = \Phi_{\text{màx}} \omega = BS \omega = BS 2\pi f \end{array} \right.

Per a N espires:

\mathcal{E} = - N \frac{d\Phi}{dt} = N \Phi_{\text{màx}} \omega \sin{(\omega t)}

(esquema)
Aplicacions (el moviment de l'espira és provocat per una energia externa):

alternador: la polaritat va alternant; es genera corrent altern
dinamo: sempre la mateixa polaritat

Autoinducció: si el corrent que circula per un conductor varia, crearà un camp magnètic de flux variable.
El conductor quedarà sotmès a la variació del propi flux i crearà una FEM induïda, anomenada FEM autoinduïda (\epsilon_a) .

segons la llei de Lenz, el sentit de la FEM autoinduïda és contrari a la causa que el produeix; s'oposa a les variacions de corrent
el paràmetre que relaciona \epsilon_a amb les variacions de corrent és el coeficient d'autoinducció del circuit: autoinducció L

Corrents de Foucault: corrents circulars induïts dins d'un conductor (per exemple, una placa) quan és sotmès a un camp magnètic variable.

aquests corrents creen camps magnètics que s'oposen al camp original i provoquen forces repulsives
pèrdues per calor degut a l'efecte Joule
els corrents de Foucault sobre els materials conductors que no formen part del circuit es poden reduir si es laminen els materials i se separen amb aïllant
aplicacions:

levitació
esmorteir oscil·lacions en balances mecàniques
frenada de trens magnètics
cuines d'inducció

Transformador

\left. \begin{array}{r} \Phi_{\text{primari}} = \Phi_{\text{secundari}} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\Phi_p}{dt} = \frac{d\Phi_s}{dt} \\ \href{#llei_faraday_lenz}{\text{Faraday:}}\quad \mathcal{E} = - N \frac{d\Phi}{dt} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\Phi}{dt} = - \frac{\mathcal{E}}{N} \end{array} \right\} \quad \frac{\mathcal{E}_p}{n_p} = \frac{\mathcal{E}_s}{n_s} \quad\Rightarrow\quad \boxed{ \frac{\mathcal{E}_p}{\mathcal{E}_s} = \frac{n_p}{n_s} }

Treball: l'energia cinètica de les càrregues no queda alterada per la presència de camps magnètics i es manté constant; els camps només afecten la direcció de la velocitat: la càrrega descriu un moviment circular

\left. \begin{array}{r} \vec{F} \perp \Delta \vec{r} \Rightarrow W = 0 \\ W = \Delta E_c \end{array} \right\} \Rightarrow \Delta E_c = 0 \Rightarrow \Delta V = 0 \Rightarrow v = C

Moviment d'una càrrega dins d'un camp magnètic

Energia cinètica d'una càrrega en moviment dins d'un camp magnètic:

\left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} \sum{F} = F_m = |Q|vB \\ a_t = \frac{v^2}{r} \end{array} \right\} \sum{F} = ma \Rightarrow |Q|vB = m\frac{v^2}{R} \Rightarrow \boxed{ R = \frac{mv}{|Q|B} = \frac{p}{|Q|B} } \Rightarrow v = \frac{R|Q|B}{m} \\ E_c = \frac{1}{2} m v^2 \end{array} \right\} E_c = \frac{(QBR)^2}{m}

Freqüència del moviment circular (no depèn de la velocitat de la partícula):

\left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} R = \frac{mv}{|Q|B} \\ \omega = \frac{v}{R} \end{array} \right\} \omega = \frac{|Q|B}{m} \\ f = \frac{\omega}{2\pi} \end{array} \right\} f = \frac{|Q|B}{2\pi m}

Si una partícula entra en un camp magnètic amb una velocitat amb components paral·lel i perpendicular \vec{v} = \vec{v}_{\parallel} + \vec{v}_{\perp} només la component perpendicular es veurà afectada pel camp magnètic; descriurà un moviment helicoidal de radi: R = \frac{mv_{\perp}}{|Q|B} = \frac{mv\sin\alpha}{|Q|B}

En el camp magnètic terrestre, algunes partícules carregades que provenen de l'exterior queden atrapades al cinturó de Van Allen, com si fos una ampolla magnètica.

Aplicacions:

selector de velocitats

camp elèctric + camp magnètic: v = \frac{E}{B}

espectròmetre de masses

selector de velocitats + camp magnètic + plaques fotogràfiques

ciclotró

velocitat	energia cinètica
v = \frac{R \|Q\| B}{m}	E_c = \frac{(R\|Q\|B)^2}{2m}

Equacions de Maxwell

Info

	forma diferencial	paràmetres	interpretació
Llei de Gauss	\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}	\mathbf{E}: camp elèctric \rho: \epsilon:	divergència ...
Llei de Gauss per al magnetisme	\nabla \cdot \mathbf{B} = 0	\mathbf{B}: camp magnètic	divergència ...
Llei de la inducció de Faraday	\href{matematiques.html#rotacional}{\nabla \times} \href{#camp_electric}{\mathbf{E}} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}	\mathbf{E}: camp elèctric \mathbf{B}: camp magnètic t: temps	rotacional ...
Llei d'Ampère ...	\href{matematiques.html#rotacional}{\nabla \times} \href{#camp_magnetic}{\mathbf{B}} = \mu_0 \left( \mathbf{J} + \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right)	\mathbf{B}: camp magnètic \mathbf{J}: densitat de corrent \mathbf{E}: camp elèctric t: temps ...	rotacional ...

Electromagnetisme

		camp magnètic
		constant	variable
conductor sense corrent	sense moviment	si el metall és ferromagnètic, hi haurà forces d'atracció
	en moviment	el flux magnètic varia Faraday-Lenz: es crea una FEM induïda al conductor	es creen corrents de Foucault al conductor
conductor amb corrent constant	sense moviment	crea un camp magnètic constant
	en moviment	el conductor experimenta forces perpendiculars al camp magnètic
circuit tancat ...

conductor amb corrent variable	sense moviment
	en moviment

Electromagnetisme

Imants

Programari / Software

Latex Tikz
VectorFieldPlot (Wikimedia)

SciPy

Electricitat

Electrònica / Electronics
Diferència de potencial: \Delta V = \frac{\Delta E_p}{Q}
Intensitat de corrent: I = \frac{\Delta Q}{\Delta t} I = \frac{\Delta Q}{\Delta t} = \frac{n S v_m \Delta t e}{\Delta t} = n S v_m e

impedància depèn de la freqüència es pot mesurar amb un VNA (vector network analyser) representació: carta de Smith
Z = R + j X	resistència (part real): R
	reactància (part imaginària): X>0: inductància X_{L} X<0: capacitància X_{C}

Lleis de Kirchhoff

...

Primera llei	La suma algebraica dels corrents que arriben a un nus és igual a la suma algebraica dels corrents que surten del nus. \sum{I} = 0		I_1 - I_2 + I_3 = 0
Segona llei	En tota malla o circuit tancat, la suma algebraica de totes les fem és igual a la suma algebraica de les caigudes de tensió. \sum{\varepsilon} = \sum{R} · I		malla a: \varepsilon_1 + \varepsilon_2 = I_1 · (r_1 + R_1) + I_2 · (R_2 + r_2) malla b: -\varepsilon_2 - \varepsilon_3 = -I_2 · (r_2 + R_2) + I_3 · (r_3 + R_3)

Criteris:
- en un nus:
  - corrent que hi entra: positiu
  - corrent que en surt: negatiu
- sentit de referència d'una malla: sentit horari
- en una malla:
  - intensitat en el mateix sentit que el de referència de la malla: positiva
  - intensitat en sentit contrari al de referència de la malla: negativa
- fem
  - si el sentit del corrent que produeix (de pol negatiu a pol positiu) coincideix amb el sentit de referència de la malla: positiva
  - si el sentit del corrent que produeix (de pol negatiu a pol positiu) es contrari al sentit de referència de la malla: negativa

Corrent altern

Alternating current (interactiu)

paràmetre
període	T
freqüència	f
valor instantani	v, i	v = V_{\text{màx}} \sin{\varphi} = V_{\text{màx}} \sin{\omega t}
valor màxim	V_{\text{màx}}, I_{\text{màx}} \mathcal{E}_0, I_0	V_{\text{màx}} = NBS \omega (Faraday-Lenz)
valor eficaç (RMS)	V, I	aquell que produeix els mateixos efectes calorífics, en passar per una resistència, que un corrent continu del mateix valor (potència mitjana) \left. \begin{array}{r} \text{corrent continu:}\; P_m = R I_e^2 \\ \text{corrent altern:}\; P_m = \frac{1}{2} R I_0^2 \end{array} \right\}\quad R I_e^2 = \frac{1}{2} R I_0^2 \quad \Rightarrow \quad I_e = \frac{I_0}{\sqrt{2}} \quad \Rightarrow \quad \boxed{I = \frac{I_{\text{màx}}}{\sqrt{2}}} \left. \begin{array}{r} \text{corrent continu:}\; P_m = \frac{\mathcal{E}_e^2}{R} \\ \text{corrent altern:}\; P_m = \frac{1}{2} \frac{\mathcal{E}_0^2}{R} \end{array} \right\} \quad \frac{\mathcal{E}_e^2}{R} = \frac{1}{2} \frac{\mathcal{E}_0^2}{R} \quad \Rightarrow \quad \mathcal{E}_e = \frac{\mathcal{E}_0}{\sqrt{2}} \quad \Rightarrow \quad \boxed{V = \frac{V_{\text{màx}}}{\sqrt{2}}} això ens permet generalitzar la llei d'Ohm
valor mitjà

Elements passius (esquema resistència, bobina, condensador, memristor)

	energia	valor	circuit amb	impedància Z [Ω]	llei d'Ohm generalitzada Z = \frac{I_{\text{màx}}}{V_{\text{màx}}} = \frac{\href{#valor_eficac}{I}}{\href{#valor_eficac}{V}}	valors instantanis	la intensitat, respecte la tensió	Força electromagnètica \mathcal{E}(t) = Z I(t)	intensitat I(t) = \frac{\mathcal{E}(t)}{Z}	potència P(t) = \mathcal{E}(t) I(t)
			corrent altern (sinusoidal)
R: resistència	dissipa l'energia en forma calorífica	...	resistència òhmica pura	real:\vec{Z}=R	I_{\text{màx}}=\frac{V_{\text{màx}}}{R} I=\frac{V}{R}	v=V_{\text{màx}}\sin{\omega t}i=I_{\text{màx}}\sin{\omega t}	està en fase	\mathcal{E}(t) = \mathcal{E}_0 \sin{\omega t} \mathcal{E}(t) = R I_0 \sin{\omega t}	I(t) = \frac{\mathcal{E}_0}{R} \sin{\omega t} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} I(t) = I_0 \sin{\omega t} \\ I_0 = \frac{\mathcal{E}_0}{R} \end{array} \right.	P(t) = R I_0^2 \sin^2{\omega t} potència mitjana (calculada a partir del treball en un període T): \left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} W = \int_0^T P(t) dt = \int_0^T R I_0^2 \sin^2{\omega t} dt = \left[ R I_0^2 \left( \frac{t}{2} - \frac{1}{4\omega} \sin{2\omega t} \right) \right]_0^T = \frac{1}{2} R I_0^2 T \\ P_m = \frac{W}{T} \end{array} \right\} \boxed{P_m = \frac{1}{2} R I_0^2} \\ I_e = \frac{I_0}{\sqrt{2}} \end{array} \right\} P_m = R I_e^2 (ens permet calcular el valor eficaç)
L: inductància o bobina	emmagatzemen l'energia elèctrica en forma de camp magnètic	\left. \begin{array}{r} L := \frac{\href{#flux_camp_magnetic}{\Phi}}{I} \\ \href{#llei_faraday_lenz}{\mathcal{E}} = -\frac{d\Phi}{dt} \end{array} \right\} \mathcal{E} = - \frac{d(LI)}{dt} \Rightarrow \boxed{\mathcal{E} = - L\frac{dI}{dt}}	inductància pura	imaginària positiva (inductància): \vec{Z} = \vec{X}_L = jL\omega = jL 2\pi f	I_{\text{màx}} = \frac{V_{\text{màx}}}{X_L} I = \frac{V}{X_L}	v = V_{\text{màx}} \sin{\omega t} i = I_{\text{màx}} \sin{(\omega t - \frac{\pi}{2})}	va retardada 90°
C: capacitància o condensador	emmagatzema l'energia elèctrica en forma de camp elèctric	\boxed{I = C \frac{dV}{dt}}	capacitància pura	imaginària negativa (capacitància): \vec{Z} = \vec{X}_C = \frac{1}{jC\omega} = \frac{1}{jC2\pi f}	I_{\text{màx}} = \frac{V_{\text{màx}}}{X_C} I = \frac{V}{X_C}	v = V_{\text{màx}} \sin{\omega t} i = I_{\text{màx}} \sin{(\omega t + \frac{\pi}{2})}	va avançada 90°
memristor

Potència (calculada a partir dels valors eficaços)

	potència activa [W]	potència reactiva [VAr]	potència aparent [VA]
	real, mesurada pels comptadors (? potència real: component real d'I per V)	necessària per a crear camps magnètics, però no produeix treball útil; cal minimitzar-la perquè perjudica la transmissió d'energia a les línies de distribució (? potència imaginària: component imaginària d'I per V)	es transmet a les línies per fer-la arribar als consumidors
corrent continu	P = VI
corrent altern	P = VI \cos{\varphi} on: factor de potència: \cos{\varphi} = \frac{R}{Z} \varphi: desfasament entre V i I	Q = VI \sin{\varphi}	S = \sqrt{P^2 + Q^2}
corrent altern trifàsic	P_T = P_{f1} + P_{f2} + P_{f3} P_T = V_{f1}I_{f1}\cos{\varphi_1} + V_{f2}I_{f2}\cos{\varphi_2} + V_{f3}I_{f3}\cos{\varphi_3} P_T = 3V_f I_f \cos{\varphi}	Q_T = 3 V_f I_f \sin{\varphi}	S_T = 3 V_f I_f

Circuits de corrent altern (les magnituds es representen com a nombres complexos: fasors; valors eficaços)

	esquema		intensitat	tensió	corrent instantani i, respecte v	potència	freqüència de ressonància	impedància de ressonància
sèrie RL	Circuit RL	\vec{Z} = \vec{R} + \vec{X_L} = R + L\omega j = \\|\vec{Z}\\|_{\varphi} Impedàncies RL	\vec{I} = \frac{\vec{V}}{\vec{Z}}	\vec{V} = \vec{V_R} + \vec{V_L} = \vec{R}\vec{I} + \vec{X_L}\vec{I}	està retardat \varphi	\left. \begin{array}{r} P = V I \cos{\varphi} \\ Q = V I \sin{\varphi} \end{array} \right\} S = VI
sèrie RC	Circuit RC	\vec{Z} = \vec{R} + \vec{X_C} = R - \frac{1}{C\omega} j Impedàncies RC	\vec{I} = \frac{\vec{V}}{\vec{Z}}	\vec{V} = \vec{V_R} + \vec{V_C} = \vec{R}\vec{I} + \vec{X_C}\vec{I}	està avançat \varphi	\left. \begin{array}{r} P = V I \cos{\varphi} \\ Q = V I \sin{\varphi} \end{array} \right\} S = VI
LC
sèrie RLC	Circuit RLC	\vec{Z} = \vec{R} + \vec{X_L} + \vec{X_C} Impedàncies RLC	\vec{I} = \vec{I}_R = \vec{I}_L = \vec{I}_C	\left. \begin{array}{r} \vec{V} = \vec{I} \vec{Z} \\ \left. \begin{array}{r} \vec{V} = \vec{V}_R + \vec{V}_L + \vec{V}_C \\ \vec{V}_R = \vec{I} \vec{Z}_R \\ \vec{V}_L = \vec{I} \vec{Z}_L \\ \vec{V}_C = \vec{I} \vec{Z}_C \end{array} \right\} \vec{V} = \vec{I} (\vec{Z}_R + \vec{Z}_L + \vec{Z}_C) \end{array} \right\} \vec{Z} = \vec{Z}_R + \vec{Z}_L + \vec{Z}_C	està retardat \varphi si \\|\vec{X}_L\\| \gt \\|\vec{X}_C\\| està avançat \varphi si \\|\vec{X}_L\\| \lt \\|\vec{X}_C\\|		quan \omega_0 fa que: \left. \begin{array}{r} \\|\vec{Z}_L\\| = \\|\vec{Z}_C\\| \\ \\|\vec{Z}_L\\| = L\omega_0 \\ \\|\vec{Z}_C\\| = \frac{1}{C\omega_0} \end{array} \right\} \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}	el conjunt LC es comporta com un curtcircuit: la impedància total és mínima
paral·lel RLC	Circuit RLC paral·lel	\frac{1}{\vec{Z}} = \frac{1}{\vec{Z}_R} + \frac{1}{\vec{Z}_L} + \frac{1}{\vec{Z}_C}	\left. \begin{array}{r} \vec{I} = \frac{\vec{V}}{\vec{Z}} \\ \left. \begin{array}{r} \vec{I} = \vec{I_R} + \vec{I_L} + \vec{I_C} \\ \vec{I}_R = \frac{\vec{V}}{\vec{Z}_R} \\ \vec{I}_L = \frac{\vec{V}}{\vec{Z}_L} \\ \vec{I}_C = \frac{\vec{V}}{\vec{Z}_C} \end{array} \right\} \vec{I} = \vec{V} (\frac{1}{\vec{Z}_R} + \frac{1}{\vec{Z}_L} + \frac{1}{\vec{Z}_C}) \end{array} \right\} \frac{1}{\vec{Z}} = \frac{1}{\vec{Z}_R} + \frac{1}{\vec{Z}_L} + \frac{1}{\vec{Z}_C}	\vec{V} = \vec{V}_R = \vec{V}_L = \vec{V}_C				el conjunt LC es comporta com un circuit obert: la impedància total és màxima

Corrent altern trifàsic

Alternator (animació)
Càlculs en sistemes trifàsics (pdf)
Tres corrents monofàsics, del mateix valor eficaç, desfasats 120°

		bobina
L1	R	XU
L2	S	YV
L3	T	ZW

Connexió de les tres fases fn cap a les línies Ln

	fase	línia	potència activa
	\vec{V}_f = \vec{\mathcal{E}}_f - \vec{R}_f\vec{I}_f - \vec{X}_f\vec{I}f V_{f1} = V_{f2} = V_{f3} = V_f \vec{V}_{f1} + \vec{V}_{f2} + \vec{V}_{f3} = 0	V_{L1} = V_{L2} = V_{L3} = V_L \vec{V}_{L1} + \vec{V}_{L2} + \vec{V}_{L3} = 0	P_T = 3 V_f I_f \cos{\varphi}
en estrella (amb neutre)		V_L = \sqrt{3}V_f I_L = I_f	P_T = 3\frac{V_L}{\sqrt{3}} I_L \cos{\varphi} = \sqrt{3} V_L I_L \cos{\varphi}
en triangle		V_L = V_f I_L = \sqrt{3}I_f	P_T = 3 V_L \frac{I_L}{\sqrt{3}} \cos{\varphi} = \sqrt{3} V_L I_L \cos{\varphi}

Paràmetres


	tensió de fase	intensitat de fase
	tensió de línia	intensitat de línia
		intensitat del neutre

Màquines elèctriques

		principi	potència
			potència absorbida	potència perduda			potència útil	potència nominal (a plena càrrega PC)
			subministada a la màquina per al seu funcionament, per:	pèrdues d'energia			subministrada per la màquina	màxima potència útil sense deteriorar-se
				magnètica (histèresi, Foucault)	elèctrica (Joule)	mecànica (fregaments, ventilació)
rotatives	generador alternador (CA) dinamo (CC)	inducció electromagnètica (Faraday-Lenz)	per la màquina motriu que el fa girar	x	x	x	subministrsada a la xarxa
rotatives	motor	Llei de Laplace	per la xarxa elèctrica	x	x	x	subministrada a l'eix
estàtiques	transformador		per la xarxa elèctrica	x	x	-	subministrada a la xarxa

Generadors elèctrics

	corrent	FEM generada	on	amb càrrega	potència aparent
dinamo	CC	\mathcal{E} = K \Phi n K = \frac{Np}{60a}	N: nombre de conductors actius de l'enrotllament induït (cada espira en té dos) n: freqüència de rotació del motor en min^-1 p: nombre de parells de pols de l'inductor a: nombre de parells de branques en paral·lel del circuit induït
alternador	CA	\mathcal{E}_f = K 4,44 N_s f \Phi \quad\text{[V]} n_s = \frac{60f}{p}	\mathcal{E}_f: FEM eficaç generada en cada fase K: coeficient de l'enrotllament induït N_s: nombre d'espires sèrie per fase \Phi: flux per pol en Wb f: freqüència en Hz n_s: freqüència síncrona de rotació en min-1 p: nombre de parells de pols de l'induït f: freqüència de la FEM induïda en Hz	quan treballa amb càrrega, el pas del corrent provoca una caiguda de tensió, degut a la resistència i a la inductància:\vec{V}_f = \vec{\mathcal{E}}_f - \vec{R}_f\vec{I}_f - \vec{X}_f\vec{I}f	alternador monofàsic S = VI \quad\text{[VA]} alternador trifàsic: S = 3V_f I_f = \sqrt{3}V_L I_L \quad\text{[VA]}

Motors elèctrics

	corrent continu	corrent altern
	dinamo invertida	asíncron (d'inducció) camp magnètic giratori (generat per les tres fases d'un corrent altern trifàsic)		síncron: alternador invertit (N. Tesla)
		trifàsic (yt)	monofàsic amb bobinatge auxiliar d'arencada universal: motor CC amb excitació sèrie (trepant, aspirador)
ús		industrial	electrodomèstics, màquines eina portàtils	pràcticament no es fa servir
sentit de gir	regla de la mà esquerra
força contraelectromotriu (Lenz)	\mathcal{E}' = K \Phi n \quad\text{[V]} on: n: freqüència de rotació [min^-1]
intensitat del motor (I): intensitat que absorbeix el motor	I = \frac{V_L - \mathcal{E}'- 2 V_{CO}}{R_t} \quad \text{[A]} on: R_t: resistència òhmica que la màquina oposa al pas del corrent V_{CO}: caiguda de tensió entre el col·lector i les escombretes (2 V)	\left. \begin{array}{r} \href{#motor_ac_asincron_trifasic_potencia}{P_\text{abs}} = \sqrt{3} V_L I_L \cos{\varphi} \\ \href{#motor_ac_asincron_trifasic_rendiment}{\eta} = \frac{P_u}{P_\text{abs}} \; \Rightarrow \; P_\text{abs} = \frac{P_\text{u}}{\eta} \end{array} \right\} \quad I = \frac{P_u}{\sqrt{3} V_L \eta \cos{\varphi}}
intensitat d'arrencada o de curtcircuit (\mathcal{E}'=0)	I_a = I_{CC} = \frac{V_L - 2 V_{CO}}{R_t} \quad \text{[A]} REBT: I_a \le (1,5 \div 2,5) I_i \Rightarrow cal un reòstat d'arrencada (R_{Ra}) tal que: I_a = \frac{V_L - 2 V_{CO}}{R_t + R_{Ra}}
velocitat de gir	\left. \begin{array}{r} n = \frac{\mathcal{E}'}{K\Phi} \\ \mathcal{E}' = V_L - R_t I - 2 V_{CO} \end{array} \right\} \;n = \frac{V_L - R_t I - 2 V_{CO}}{K\Phi} \Rightarrow \boxed{n \simeq \frac{V_L}{K\Phi}} \quad \text{[min}^{-1}\text{]}	velocitat del rotor (n_r) inferior a la de sincronisme (n_s) (perquè si fos la mateixa no hi hauria canvi de flux i per tant no hi hauria FEM induïda) n_s = \frac{f}{p} \quad \text{[s}^{-1}\text{]} on: f: freqüència de la xarxa d'alimentació p: parells de pols de l'estator velocitat del rotor (de lliscament): n_r = n_s - n lliscament relatiu: s = \frac{n_r}{n_s}	velocitat inferior a la de sincronisme	velocitat de sincronisme: n_s = \frac{f}{p} \quad \text{[s}^{-1}\text{]} on: f: freqüència de la xarxa d'alimentació p: parells de pols de l'estator
estabilitat	un motor és estable quan: en augmentar la velocitat, respon amb una reducció del parell motor que estableix l'equilibri. En cas contrari, el motor s'embalarà. en reduir la velocitat, respon amb un augment del parell motor. En cas contrari, el motor anirà perdent força i s'aturarà.
potència absorbida (P_\text{abs}), induïda (P_\text{i}), útil (P_\text{u})	\boxed{P_{\text{abs}} = V_L I}\quad \text{[W]} \; \left\{ \begin{array}{l} \boxed{P_\text{i} = \mathcal{E}' I_i}\; \left\{ \begin{array}{l} P_\text{u} \\ P_\text{mecàniques} \end{array} \right. \\ P_\text{magnètiques} + P_\text{elèctriques} \end{array} \right.	\left. \begin{array}{r} \href{#potencia_activa}{P_\text{abs}} = \sqrt{3} V_L I_L \cos{\varphi} \quad \text{[W]} \\ \href{#potencia_reactiva}{Q_\text{abs}} = \sqrt{3} V_L I_L \sin{\varphi} \quad \text{[VA}_r\text{]} \end{array} \right\} \quad \href{#potencia_aparent}{S_\text{abs}} = \sqrt{3} V_L I_L \quad \text{[VA]} on: P_abs: potència activa (=potència útil + pèrdues mecàniques + elèctriques + magnètiques) Q_abs: potència reactiva (per crear el camp magnètic) S_abs: potència aparent subministrada per la xarxa al motor
rendiment del motor	\eta = \frac{P_u}{P_\text{abs}} = \frac{P_u}{P_u + P_p} on: P_p: pèrdues magnètiques, elèctriques i mecàniques	\eta = \frac{P_\text{u}}{P_\text{abs}} = \frac{P_\text{u}}{P_\text{u} + P_\text{Fe} + P_\text{Cu} + P_\text{mecàniques}}
parell motor (Laplace)	\left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} \href{#llei_laplace}{F} = B I_i L\\ \Gamma = NFr \end{array} \right\} \Gamma = NBI_i L\\ B = \frac{\Phi}{S}\\ S = \frac{2\pi r l}{2p}\\ \end{array} \right\} \Gamma = N \frac{\Phi p}{\pi l} I_i L \quad \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r} \boxed{\Gamma = K \Phi I_i}\\ K = \frac{Np}{\pi l}L \end{array} \right. on: \Phi: flux de cada pol [Wb] I_i: intensitat de l'induït [A]	\Gamma = \frac{P_u}{2 \pi n} \quad \text{[N·m]}
parell intern i útil	\Gamma_i = \frac{P_i}{\omega} = \frac{\mathcal{E}'I_i}{\omega} \quad \text{[N·m]} \Gamma_u = \frac{P_u}{\omega} \quad \text{[N·m]}
parell d'engegada (\Gamma_a)	ha de ser més gran que el parell motor nominal, ja que a més de vèncer el parell resistent (\Gamma_r), ha d'accelerar el motor fins a la velocitat nominal (veǹcer el moment intern del motor \Gamma_i): \Gamma_a = K\Phi_a I_a \Gamma_a = \Gamma_r + \Gamma_i

Pèrdues

pèrdues	circuit	causa
magnètiques (del ferro)	magnètic	corrents paràsits o de Foucault
elèctriques (del coure)	elèctric	efecte Joule
mecàniques		fregaments i ventilació

Transformador

Pèrdues de potència en una línia (L: longitud, s: secció, \rho: resistivitat) p = \frac{3\rho I^2 L}{s}

Ones

Equació d'ona

The Wave Equation for BEGINNERS (Parth G)
...\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}

Mecànica lagrangiana i hamiltoniana

Mecànica lagrangiana

Why Lagrangian Mechanics is BETTER than Newtonian Mechanics F=ma | Euler-Lagrange Equation | Parth G
\mathcal{L} = T - V, on T és l'energia cinètica i V és l'energia potencial; no té sentit físic
Equació d'Euler-Lagrange:\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot{q}} \right) = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q}
Avantatges:

no considera forces; només energies
més convenient per a sistemes amb múltiples forces
millor per quan hi ha múltiples coordenades

Exemple d'una massa amb una molla:

energia cinètica:T=\frac{1}{2}m \dot{x}^2	\mathcal{L} = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 -\frac{1}{2}k{x}^2	per a trobar l'equació del moviment, fem servir l'equació d'Euler-Lagrange: \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial\left(\frac{1}{2}m\dot{x}^2 -\frac{1}{2}k{x}^2\right)}{\partial \dot{x}} \right) = \frac{\partial\left(\frac{1}{2}m\dot{x}^2 -\frac{1}{2}k{x}^2\right)}{\partial x} i trobem:m\ddot{x} = -kxque és el mateix que la segona llei de Newton: m\vec{a} = \sum{\vec{F}}
energia potencial elàstica de la molla:V=-\frac{1}{2}k {x}^2

Mecànica hamiltoniana

H = T + V, on T és l'energia cinètica i V és l'energia potencial

Física de partícules / Particle physics

Bibliografia

«El bosón de Higgs», David Blanco

Info

una partícula és una pertorbació en un camp quàntic
...

Nomenclatura

The Language of Quantum Physics is Strange | PHYSICS EXPLAINED (Parth G)
Some light quantum mechanics (with minutephysics) (3Blue1Brown)

kets, superposisició, camps electromagnètics, equacions de Maxwell, ones

...

			propietats
bra-ket	bra	\langle \Psi \|	inner product is 1: \langle \Psi \| \Psi \rangle = 1
bra-ket	ket	\| \Psi \rangle	inner product is 1: \langle \Psi \| \Psi \rangle = 1

Superposició d'un estat quàntic

estat quàntic		quan es fa una observació, deixa d'haver-hi superposició d'estats i l'estat col·lapsa cap a una de les components, amb probabilitat:
\| \Psi \rangle = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \|\uparrow\rangle + \left(\frac{1}{2}\right) \|\downarrow\rangle	\|\uparrow\rangle (spin up) i \|\downarrow\rangle (spin down) són dos vectors ortogonals d'un espai abstracte (Hilbert). Per tant el seu inner product és zero: \langle\downarrow\|\uparrow\rangle = 0	cap a l'eix \| \uparrow \rangle amb probabilitat \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^2 = \frac{3}{4}
		cap a l'eix \| \downarrow \rangle amb probabilitat \left( \frac{1}{2} \right) ^2 = \frac{1}{4}

Equació de Schrödinger

Schrodinger Equation Explained - Physics FOR BEGINNERS

...

...
i\hbar\frac{d}{dt}\|\Psi\rangle = \hat{H} \|\Psi\rangle

Teories

Model estàndard

Standard Model

Mathematical formulation of the Standard Model

Interaccions i teories

		interacció	teoria		partícules mediadores	es conserva
model estàndard	electrofeble	electromagnètica	QED		fotó (γ)
		feble		desintegració beta- desintegració beta+	bosó Z bosó W⁺ bosó W^-
		forta	QCD	uneix els quarks mitjançant gluons SU(3)	gluons	hipercàrrega
		gravitatòria			gravitons?

Radioactivitat

α alfa	nuclis d'heli-4		full de paper
β beta	electrons o positrons accelerats	interacció feble	làmina d'alumini
x / γ gamma	fotons d'alta energia		placa de plom
n neutrònica	neutrons	emesos espontàniament o per fissió	bloc d'aigua o formigó

Simetria i conservació

	teories	si hi ha simetria	llavors es conserva
Emmy Noether	clàssiques	de traslació espacial	moment lineal (quantitat de moviment) / linear momentum: \vec{p} = m \vec{v}
		rotacions	moment angular / angular momentum: L = Iw
		no evolucionen amb el temps	energia
Ward–Takahashi identity	QED	gauge: redundància en la descripció matemàtica (ex: rotació del penell i de la seva base)	càrrega	un altre camp compensa els canvis que trenquen la simetria en el primer camp, per a aconseguir una simetria gauge. Per exemple: camp dels electrons i camp dels fotons (QED)
Slavnov–Taylor identities	QCD

Camps: classificació segons el seu comportament davant de les rotacions

	espín	camp	física clàssica / classical field theory	física quàntica (camp quàntic) / quantum field theory
model estàndard	0	camp escalar	camp de temperatura: a cada punt x,y,x,t se li assigna un escalar	camp escalar quàntic: a cada punt x,y,z,t se li assigna una única funció de probabilitat d'energia (P(E))
	1/2	camp espinorial	-	camp espinorial quàntic: a cada punt x,y,z,t se li assignen 2 espinors -1/2 1/2	relacionats amb els estats dretà i esquerrà dels electrons i quarks
	1	camp vectorial	camp de vent: a cada punt x,y,z,t se li assigna un vector (direcció i mòdul)	camp vectorial quàntic: a cada punt x,y,z,t se li assignen tres (3 graus de llibertat) funcions de probabilitat d'energia -1: transversal a l'eix de la propagació 0: longitudinal (eix de la propagació) si existeix: té massa; no pot arribar a la velocitat de la llum si no existeix: no té massa; pot arribar a la velocitat de la llum 1: transversal a l'eix de propagació
	3/2
	2			gravitons?

Famílies de camps

	estadística	descrit per	partícula	espín
camps fermiònics	Fermi-Dirac: exclusió de Pauli	camp espinorial	fermió	1/2	camp espinorial	camp d'electrons camp de quarks camp de neutrins
camps bosònics	Bose-Einstein: admeten superposició	camps tensorials	bosó escalar	0	camp escalar	camp de Higgs H H1, H2, H3: aporten la component longitudinal dels bosons Z, W+, W- i fan que tinguin massa
			bosó de gauge	1	camp vectorial	camp de fotons mediadors de la interacció feble camps W+. W-, Z mediadors de la interacció forta gluons

Components de camps vectorials quàntics

força			transversal (-1)	transversal (1)	longitudinal (0) (la component del camp de Higgs proporciona la massa)
electromagnètica	fotó	γ	W₃	B	-	no té massa
feble	bosó	Z	W₃	B	H₁
		W⁺	W₁	W₂	H₂
		W^-	W₁	W₂	H₃

http://www.francescpinyol.cat/fisica.html
Primera versió: / First version: 2022
Darrera modificació: 22 de febrer de 2023 / Last update: 22nd February 2023

Cap a casa / Back home.