Dualitat ona / partícula: qualsevol partícula en
moviment té una ona associada, la longitud d'ona de
la qual està relacionada amb la massa i la velocitat
de la partícula
Heisenberg
Principi d'incertesa: és impossible conèixer
simultàniament i amb exactitud la quantitat de moviment i la
posició d'una partícula; o bé l'energia
mesurada durant un període de temps
W =
\vec{F} · \Delta \vec{x} = F · \Delta x ·
\cos{\alpha}W =
\vec{F} \cdot \Delta \vec{r} si la força
no és constant (p.ex. en camps
no uniformes): W =
\int_{\vec{r_a}}^{\vec{r_b}} \vec{F} \cdot
d\vec{r}(àrea sota la funció força,
delimitada pels punts a i b)
Força de fregament estàtic: F_{fe}
=\mu_e N Força de fregament dinàmic: F_{fd} =\mu_d N
E =m c^2
Energia cinètica relativista:
E_c = m c^2 - m_0 c^2
m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}
Energia cinètica: treball
necessari perquè el cos adquireixi una velocitat constant a
partir del repòs\left. \begin{array}{r} E_c = W = F·\Delta
x · \cos(\alpha) \\ F = m a \\ \Delta x = \frac{1}{2} a
(\Delta t)^2 \end{array} \right\} \Rightarrow \quad E_c =
m a · \frac{1}{2} a (\Delta t)^2 = \frac{1}{2} m (a \Delta
t)^2 = \frac{1}{2} m v^2
el treball realitzat per les forces
d'un camp conservatiu
només depèn de les posicions inicial i final: W_{\text{cicle}} = \oint \vec{F}
\cdot d\vec{r} = 0
Conservació de l'energia
mecànica per a forces conservatives:
\left . \begin{aligned} W
&= \Delta E_c \\ W &= - \Delta E_p
\end{aligned} \right\} \Rightarrow \quad \Delta
E_c = - \Delta E_p \quad \Rightarrow \quad \Delta
E_c + \Delta E_p = 0 L'energia mecànica
es manté constant: \boxed{\Delta
E = 0}
Força elàstica: \left.
\begin{aligned} E_p &= \frac{1}{2} k x^2\\ E_c
&= \frac{1}{2} m v^2 \end{aligned} \right\}
\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} v &= x
\sqrt{\frac{k}{m}} \\ x &= v
\sqrt{\frac{m}{k}} \end{aligned} \right.
camp no
conservatiu
Variació de l'energia
mecànica quan actuen forces no
conservatives
\left . \begin{aligned} W &= \Delta E_c \\ W
&= - \Delta E_p + W_{fnc} \end{aligned}
\right\} \Rightarrow \quad \Delta E_c = - \Delta
E_p + W_{fnc} \quad \Rightarrow \quad \Delta E_c +
\Delta E_p = W_{fnc} El treball
realitzat per forces no conservatives és igual a la
variació de l'energia mecànica: \boxed{\Delta
E = W_{fnc}}
constant de la gravitació universal:
G = 6,67·10^{-11}\:\text{N·m²/kg²}
per a la Terra:
M_T = 5,98·10^24\:\text{kg}
R_T = 6,38·10^6\:\text{m}
Relació amb el camp
gravitarori: \boxed{ \vec{F}
= m \vec{g} }
Intensitat de camp gravitatori
(N/kg): \vec{g} =
\frac{\vec{F}}{m'}\boxed{\vec{g}
= -G \frac{m}{r^2} \vec{u}}
A la superfície de la Terra: \vec{g}_0
= 9,8\:\text{m/s²} Relació entre el camp
gravitatori i el potencial:
\left. \begin{array}{r} \Delta E_p = -W \Rightarrow
dE_p = - \vec{F} \cdot d\vec{r} \Rightarrow
\frac{dE_p}{m} = - \frac{\vec{F} \cdot
d\vec{r}}{m}\\ E_p = m V \Rightarrow \frac{dE_p}{m}
= dV \\ \frac{\vec{F}}{m} = \vec{g} \end{array}
\right\} \Rightarrow dV = - \vec{g} \cdot d\vec{r}
en mòdul: \boxed{g =
-\frac{dV}{dx}} La intensitat de camp
gravitatori té el sentit en què el potencial
disminueix. Per tant:
una massa lliure m' es desplaça en el mateix
sentit del camp gravitatori i cap a potencials més
petits (encara més negatius)
Potencial gravitatori d'una massa
puntual m en un punt A: treball, canviat
de signe, realitzat per la força gravitatòria que
efectua
la massa m per a desplaçar una altra massa de
prova d'1 kg des de l'infinit fins a A \boxed{V_A = - W_{\infty \to A}}V_{\infty} = 0V_A = - W_{\infty \to A} = -
\int_{\infty}^{r_{A}} \vec{F} \cdot d\vec{r}= -
\int_{\infty}^{r_{A}} -G \frac{m·1}{r^2} \vec{u}
\cdot d\vec{r} = -G \frac{m}{r_A}\boxed{V
= -G \frac{m}{r}}
Potencial
gravitatori generat
per una massa m
Energia potencial gravitatòria
(sempre negativa): treball efectuat per la força
gravitatòria
per moure una massa m' des de
l'infinit fins a A E_{pA} =m'
V_A\boxed{E_p = -G
\frac{mm'}{r}}
Si la mateixa força gravitatòria mou una massa des
d'un punt inicial (lluny) a un final (a prop), el
treball, fet pel sistema, és positiu: W_{\text{sistema}}
= -m' \Delta V= -m'(V_f - V_i) = - (E_{pf} - E_{pi})
= - \Delta E_p > 0
Si unes forces externes, oposades a la força
gravitatòria, han de moure una massa des d'un punt
inicial (a prop) a un punt final (lluny), el treball,
fet per les forces externes, és negatiu: W_{\text{forces
externes}} = m' \Delta V = m'(V_f - V_i) = (E_{pf} -
E_{pi}) = \Delta E_p < 0
Wsistema
Wforces_externes
m' es desplaça en el sentit de l'atracció
ΔEp<0
>0
<0
m' es desplaça en el sentit oposat a
l'atracció
ΔEp>0
<0
>0
Conservació de l'energia, per ser un
camp conservatiu: \Delta
E_c + \Delta E_p = 0 Velocitat d'escapament:
des de la superfície de la Terra fins a l'infinit,
on l'energia potencial és nul·la i hi ha d'arribar amb
velocitat nul·la \left.
\begin{array}{r} \text{a la superfície de la
Terra:}\: E = E_c + E_p\\ \text{a l'infinit:}\:E' =
E_c' + E_p' = 0 + 0 = 0 \end{array} \right\}
\Rightarrow \frac{1}{2} m v_0^2 - G \frac{mM_T}{R_T}
= 0 \Rightarrow v_0 = \sqrt{\frac{2GM_T}{R_T}} Velocitat i energia
mecànica d'un satèl·lit de massa m que gira
al voltant d'un cos de massa M:
\left. \begin{array}{r} \left. \begin{array}{r}
\left. \begin{array}{r} \sum{F} = F_g = G
\frac{Mm}{r^2} \\ a_t = \frac{v^2}{r} \end{array}
\right\} \sum{F} = ma \Rightarrow G \frac{Mm}{r^2} =
m\frac{v^2}{r} \Rightarrow \boxed{v =
\sqrt{\frac{GM}{r}}} \\ E_c = \frac{1}{2}m v^2
\end{array} \right\} E_c = \frac{1}{2} G
\frac{Mm}{r} \\ E_p = - G \frac{Mm}{r} \end{array}
\right\} E = E_c + E_p = - \frac{1}{2} G
\frac{Mm}{r}
Llei de Coulomb: \boxed{\vec{F_e}
= K \frac{QQ'}{r^2}\vec{u}} on:
Q és la càrrega, expressada en coulombs (C)
1C és la càrrega de 6,24·1018
electrons
1 electró té una càrrega de 1,602·10-19
C
constant elèctricaK=\frac{1}{4\pi\epsilon},
on \epsilon és la permitivitat
del medi (en el buit: K=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}=9·10^9
\frac{\text{N·m²}}{\text{C²}})
Relació amb el camp elèctric:
\boxed{ \vec{F_e} = Q \vec{E}
}
Camp
elèctricGeek3,
CC BY-SA 3.0, via Wikimedia Commons
Intensitat de camp elèctric (N/C): \vec{E} = \frac{\vec{F}}{Q'}\boxed{\vec{E} = K
\frac{Q}{r^2}\vec{u}}
Com que considerem que Q' és positiva, quan:
la càrrega Q és positiva, les línies del camp
surten de la càrrega
la càrrega Q és negativa, les línies del camp
entren cap a la càrrega
Si la càrrega és no puntual i contínua: \vec{E} = \int K
\frac{dQ}{r^2}\vec{u} = \int_{V'}K \frac{\rho
dV'}{r^2}\vec{u} Relació entre el camp
elèctric i el potencial: \left. \begin{array}{r} \Delta
E_p = -W \Rightarrow dE_p = - \vec{F} \cdot d\vec{r}
\Rightarrow \frac{dE_p}{Q} = - \frac{\vec{F} \cdot
d\vec{r}}{Q}\\ E_p = Q V \Rightarrow \frac{dE_p}{Q}
= dV \\ \frac{\vec{F}}{Q} = \vec{E} \end{array}
\right\} \Rightarrow dV = - \vec{E} \cdot d\vec{r}
en mòdul: \boxed{E =
-\frac{dV}{dx}}
si el camp elèctric és constant: E = - \frac{\Delta
V}{\Delta x} \Delta V = -E \Delta x
La intensitat de camp elèctric té el sentit
en què el potencial disminueix. Per tant:
una càrrega positiva lliure es desplaça en el
mateix sentit del camp elèctric i cap a potencials
més petits
una càrrega negativa lliure es desplaça en
sentit contrari al camp elèctric i cap a
potencials més grans
Potencial elèctric (volt: V) d'una
càrrega puntual Q en un punt A: treball, canviat
de signe, que realitza la força elèctrica efectuada
per la càrrega Q quan desplaça una altra càrrega
puntual de +1 C des de l'infinit fins a A V_A = -W_{\infty \rightarrow
A} V_{\infty} = 0 V_A = -W_{\infty \rightarrow A} = -
\int_{\infty}^{r_A} K \frac{Q·1}{r^2}\vec{u} \cdot
d\vec{r} = -KQ \left[ \frac{-1}{r}
\right]_{\infty}^{r_A} = K \frac{Q}{r_A} \boxed{V=K\frac{Q}{r}} Potencial
elèctric creat per
una càrrega negativaPotencial
elèctric creat per
una càrrega positiva Diferència de potencial entre dos
punts A i B: treball, canviat de signe, realitzat per
la força elèctrica per desplaçar una càrrega punual de
+1 C des de B fins a A:
\Delta V = V_A - V_B = -W_{B \rightarrow A}
Energia potencial elèctrica: treball, canviat de signe, per
desplaçar una càrrega Q' des de l'infinit fins a A E_{pA} = Q' V_A \boxed{E_p = K \frac{QQ'}{r}}
Si l'energia potencial és:
negativa, les forces són atractives; el sistema
és estable
positiva, les forces són repulsives; el sistema
és inestable
El treball realitzat pel sistema, quan dues càrregues
molt separades s'apropen: W_{\text{sistema}} = -\Delta
E_p = - (E_{pA}-E_{p\infty}) = -(E_{pA}-0) = -
E_{pA} = -K \frac{QQ'}{r} (donades dues
càrregues de signe oposat, si es volen apropar, no cal
fer res, ho farà el sistema, perquè es va des d'un
potencial més alt, negatiu o zero, a un potencial més
baix, encara més negatiu)
El treball fet per les forces externes és:
W_{\text{forces externes}} = \Delta E_p = K
\frac{QQ'}{r} (donades dues càrregues del
mateix signe, si es volen apropar, caldrà que unes
forces externes facin un treball positiu, perquè es va
des d'un potencial més baix, positiu, a un potencial
més alt, encara més positiu) Variació de l'energia
potencial del sistema: treball, canviat de
signe, per desplaçar una càrrega Q' des d'un punt A
fins a un punt B, en presència d'una càrrega Q W = -\Delta E_p =
-(E_{pB}-E_{pA}) = -(Q'V_B - Q'V_A) = -Q'(V_B-V_A) =
-Q'\Delta V
Wsistema
Wforces_externes
les càrregues es mouen per la força
elèctrica
ΔEp<0
>0
<0
les forces externes actuen de forma oposada
a la força elèctrica, per a poder moure les
càrregues
ΔEp>0
<0
>0
Conservació de l'energia, per ser
un camp conservatiu \Delta E = \Delta E_c + \Delta
E_p = 0 Energia mecànica d'un
electró (-e) que gira al voltant d'un protó (+e):
\left. \begin{array}{r} \left.
\begin{array}{r} \left. \begin{array}{r} \sum{F} =
F_e = K \frac{e^2}{r^2} \\ a_t = \frac{v^2}{r}
\end{array} \right\} \sum{F} = m·a \Rightarrow
K\frac{e^2}{r^2} = m \frac{v^2}{r} \Rightarrow
K\frac{e^2}{r} = mv^2\\ E_c = \frac{1}{2}mv^2
\end{array} \right\} E_c = \frac{1}{2} K
\frac{e^2}{r}\\ E_p = -K \frac{e^2}{r} \end{array}
\right\} E = E_p + E_c = -\frac{1}{2} K\frac{e^2}{r}
Electronvolt
(eV): energia cinètica que adquireix un electró quan
supera una diferència de potencial d'1 V
1 \text{eV} = q_e \DeltaV = 1,602·10^{-19} \text{C}
· 1 \text{V} = 1,602·10^{-19} \text{J}
Força
sobre un conductor rectilini \left.
\begin{array}{r} v = \frac{\Delta l}{\Delta
t} \\ I = \frac{\Delta Q}{\Delta t}
\Rightarrow \Delta Q = I \Delta t \\ \Delta
F = \Delta Q v b \sin{\alpha} \end{array}
\right\} \Delta F = I \Delta t \frac{\Delta
l}{\Delta t} B \sin{\alpha} = I \Delta l B
\sin{\alpha}
\sum_{i=1}^{n} F_i = I \sum_{i=1}^{n} \Delta
l_i B \sin{\alpha}
\boxed{ \vec{F}_{\text{total}} = I (\vec{l}
\times \vec{B}) }
espira
Força
sobre una espira Llei de Laplace:
el parell de forces dels trams perpendiculars
al camp magnètic faran que l'espira giri fins
a col·locar-se en paral·lel amb el camp
magnètic
Forces entre dos conductors paral·lels
infinits:
cada conductor
crea un camp magnètic i crea una força sobre l'altre conductor Força
entre dos conductors \left. \begin{array}{r} \left.
\begin{array}{r} B_1 = \mu_0 \frac{I_1}{2\pi d} \\
F_2 = I_2 l B_1 \sin{90^\circ} \end{array} \right\}
F_2 = \mu_0 \frac{I_1 I_2 l}{2 \pi d} \\ \left.
\begin{array}{r} B_2 = \mu_0 \frac{I_2}{2\pi d} \\
F_1 = I_1 l B_2 \sin{90^\circ} \end{array} \right\}
F_1 = \mu_0 \frac{I_1 I_2 l}{2\pi d} \end{array}
\right\}
Si els corrents tenen:
el mateix sentit: els conductors s'atreuen
sentit contrari: els conductors es repel·leixen
Definició d'ampere:
si per dos conductors rectilinis i paral·lels,
separats per un metre de distància, passen dos
corrents amb la mateixa intensitat i la força per
unitat de longitud sobre cada conductor és de 2·10-7
N/m, diem que per cada conductor circula un corrent
d'un ampere. \frac{F_1}{l} = \frac{F_2}{l}
= \mu_0 \frac{I_1 I_2}{2 \pi d} = \frac{4 \pi
10^{-7}·1\text{A}·1\text{A}}{2\pi · 1 \text{m}} =
2·10^{-7} \text{N/m}
Geek3,
CC BY-SA 3.0, via Wikimedia CommonsCamp
magnètic
Intensitat de camp magnètic (inducció)
(Tesla T; Gauss G) (1 T = 104 G): \vec{B}
Les línies del camp magnètic:
surten del pol N
entren al pol S
El moviment d'un electró al voltant del nucli
genera un camp magnètic. Moment dipolar
magnètic d'una espira o un electró: \boxed{\vec{m} = I \vec{S}}
on:
I: intensitat de corrent elèctric
\vec{S}: vector superfície,
perpendicular al pla de l'espira, amb el sentit de
la regla de la mà dreta, com si fossin les
càrregues positives les que creen el corrent (en
realitat és al revés) i tenen una velocitat
el camp B creat té la mateixa direcció i sentit
que el moment dipolar magnètic
Camp magnètic creat per un
corrent elèctric:
Ørsted: un corrent elèctric (càrregues en
moviment) crea un camp magnètic
Camp
magnètic creat per un conductor rectiliniLlei d'Ampère: \boxed{B = \mu
\frac{I}{2 \pi r}} on:
r: distància al conductor
una espira amb corrent
Camp
magnètic creat per una espira amb corrent
Al centre de l'espira: \left.
\begin{array}{r} B = \frac{\mu_0}{4\pi} \int
\frac{I·dl}{R^2} \\ \int dl = 2\pi R
\end{array} \right\} \boxed{B = \mu
\frac{I}{2R}} on:
R: radi de l'espira
un solenoide (bobina), que pot tenir un nucli
ferromagnètic que crearà un camp
magnètic que se suma al de la bobina
(electroimant)
\left.
\begin{array}{r} B = \mu \frac{NI}{L} \\ n =
\frac{N}{L} \end{array} \right\} B = \mu n I
on:
N: nombre d'espires
L: longitud del solenoide
n: densitat d'espires
on:
\mu: permeabilitat del medi
(Tm/A)
aire: \mu_0 = 4\pi·10^{-7}
\text{Tm/A}
permeabilitat relativa: \mu_r =
\frac{\mu}{\mu_0}
Davant d'un camp magnètic extern, segons el grau
d'imantació, un material pot ser:
diamagnètic (\mu_r<1):
s'indueix un moment dipolar magnètic molt feble,
de sentit contrari. P.ex.: bismut, coure, diamant,
or, zenc, plata, mercuri, aigua
paramagnètic (\mu_r \approx 1):
els àtoms s'arrengleren de manera feble. P.ex.:
alumini, titani, tungstè, estany, crom, oxigen
ferromagnètic (\mu_r > 1):
s'indueix un arrenglerament molt alt i poden
quedar imantats. P.ex.: ferro pur, cobalt, níquel,
neodimi, aliatges d'aquests materials (acer, ...)
Components de la
inducció B (efecte):
permeabilitat µ: depèn del material que sustenta
el camp magnètic
intensitat o excitació del camp magnètic
H (causa): depèn exclusivament de les
característiques del circuit que crea el camp: H = \frac{B}{\mu} \boxed{H = \frac{NI}{L}
(\text{A/m})} La gràfica B(H) és
lineal al voltant de l'origen, però després
s'aplana (saturació)
Força magnetomotriu
(A) d'un circuit magnètic homogeni: \mathrm{FMM} = NI = H l_m
si el circuit és heterogeni: \sum \mathrm{FMM} = \sum N_i
I_i = \sum H_i l_{mi} on:
ens indica la quantitat de línies de camp que
travessen una superfície
si el camp magnètic no és uniforme: \Phi = \int \vec{B} \cdot
\vec{S}
FEM
(força electromotriu) induïda (volts,
V), creada en un conductor que es mou dins d'un camp
magnètic: Forces
dins d'un conductor \left. \begin{array}{r} \left.
\begin{array}{r} \vec{F}_m = Q(\vec{v}\times
\vec{B}) \\ \vec{F}_e = Q \vec{E} \end{array}
\right\} \text{en equilibri:}\quad \vec{F}_m +
\vec{F}_e = 0 \quad \Rightarrow \quad E = v B
\sin{\alpha} \\ \Delta V = \mathcal{E} = El
\end{array} \right\} \boxed{\mathcal{E} = v B l
\sin{\alpha}}
on:
B: inducció (T)
v: velocitat (m/s)
l: longitud del conductor (m)
\alpha: angle que forma \vec{v}
amb \vec{B}
Sentit del corrent induït, segons la regla de la mà
dreta:
índex: camp magnètic
polze: moviment
mig: corrent
Llei
de Faraday: la FEM induïda en un
circuit tancat és directament proprcional a la
variació de flux
magnètic que travessa la superfície definida pel
circuit respecte el temps Conductor
rectilini mòbil formant una espira \left. \begin{array}{r} \left.
\begin{array}{r} \Delta
\href{#flux_camp_magnetic}{\Phi} = B · \Delta S \\
\Delta S = l · v\Delta t \end{array} \right\} \Delta
\Phi = B (l v \Delta t) \Rightarrow \frac{\Delta
\Phi}{\Delta t} = Bvl \\
\href{#fem_induida}{\mathcal{E}} = Bvl
\sin{\frac{\pi}{2}} = Bvl \end{array} \right\}
\boxed{ \mathcal{E} = \frac{\Delta\Phi}{\Delta t}}
Llei de Faraday-Lenz:
la FEM induïda en un circuit tancat és directament
proporcional a la variació respecte el temps del flux magnètic que travessa la
superfície definida pel circuit, de manera que el
sentit del corrent induït és que dóna un efecte que
s'oposa a la causa que el produeix. \mathcal{E} = -
\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}
\boxed{\mathcal{E} = - \frac{d\Phi}{d t}}
el sentit del corrent induït és tal que s'oposa
a la causa que el produeix;
el flux creat per un corrent induït té un
sentit que s'oposa a la variació del flux que el
crea
el corrent serà més intens com més ràpides
siguin les variacions de flux magnètic.
Un imant s'apropa
a una espiraUn imant s'allunya
d'una espiraFEM alterna induïda en una espira
que gira
dins d'un camp magnètic uniforme: \left. \begin{array}{r} \left.
\begin{array}{r} \Phi(t) = BS \cos \varphi \\
\varphi = \omega t \end{array} \right\} \Phi(t) = BS
\cos{(\omega t)} \\ \mathcal{E} = - \frac{d
\Phi}{dt} \end{array} \right\} \boxed{
\mathcal{E}(t) = BS \omega \sin{(\omega t)}} \left\{
\begin{array}{l} \mathcal{E}(t) = \mathcal{E}_{0}
\sin{(\omega t)} \\ \mathcal{E}_{0} =
\mathcal{E}_{\text{màx}} = \Phi_{\text{màx}} \omega
= BS \omega = BS 2\pi f \end{array} \right.
Per a N espires: \mathcal{E} = - N
\frac{d\Phi}{dt} = N \Phi_{\text{màx}} \omega
\sin{(\omega t)}
(esquema)
Aplicacions (el moviment de l'espira és provocat per
una energia externa):
Alternador Autoinducció:
si el corrent que circula per un conductor varia,
crearà un camp magnètic de flux variable.
El conductor quedarà sotmès a la variació del propi
flux i crearà una FEM induïda, anomenada FEM
autoinduïda (\epsilon_a) .
segons la llei de Lenz, el sentit de la FEM
autoinduïda és contrari a la causa que el
produeix; s'oposa a les variacions de corrent
el paràmetre que relaciona \epsilon_a
amb les variacions de corrent és el coeficient
d'autoinducció del circuit: autoinducció
L
Corrents
de Foucault: corrents circulars
induïts dins d'un conductor (per exemple, una placa)
quan és sotmès a un camp magnètic variable.
aquests corrents creen camps magnètics que
s'oposen al camp original i provoquen forces
repulsives
pèrdues per calor degut a l'efecte Joule
els corrents de Foucault sobre els materials
conductors que no formen part del circuit es poden
reduir si es laminen els materials i se separen
amb aïllant
Treball: l'energia cinètica de les càrregues no
queda alterada per la presència de camps magnètics i
es manté constant; els camps només afecten la direcció
de la velocitat: la càrrega descriu un
moviment circular \left. \begin{array}{r}
\vec{F} \perp \Delta \vec{r} \Rightarrow W = 0 \\ W
= \Delta E_c \end{array} \right\} \Rightarrow \Delta
E_c = 0 \Rightarrow \Delta V = 0 \Rightarrow v = C
Energia cinètica d'una càrrega en moviment dins d'un
camp magnètic: \left. \begin{array}{r} \left.
\begin{array}{r} \sum{F} = F_m = |Q|vB \\ a_t =
\frac{v^2}{r} \end{array} \right\} \sum{F} = ma
\Rightarrow |Q|vB = m\frac{v^2}{R} \Rightarrow
\boxed{ R = \frac{mv}{|Q|B} = \frac{p}{|Q|B} }
\Rightarrow v = \frac{R|Q|B}{m} \\ E_c = \frac{1}{2}
m v^2 \end{array} \right\} E_c = \frac{(QBR)^2}{m}
Freqüència del moviment circular (no depèn de la
velocitat de la partícula): \left. \begin{array}{r} \left.
\begin{array}{r} R = \frac{mv}{|Q|B} \\ \omega =
\frac{v}{R} \end{array} \right\} \omega =
\frac{|Q|B}{m} \\ f = \frac{\omega}{2\pi}
\end{array} \right\} f = \frac{|Q|B}{2\pi m} Si una partícula entra en un
camp magnètic amb una velocitat amb
components paral·lel i perpendicular \vec{v} = \vec{v}_{\parallel} +
\vec{v}_{\perp} només la component
perpendicular es veurà afectada pel camp magnètic;
descriurà un moviment helicoidal de radi:
R = \frac{mv_{\perp}}{|Q|B} =
\frac{mv\sin\alpha}{|Q|B} En el camp magnètic terrestre,
algunes partícules carregades que provenen de
l'exterior queden atrapades al cinturó de Van
Allen, com si fos una ampolla magnètica. Aplicacions:
selector de velocitats
camp elèctric + camp magnètic:
v = \frac{E}{B}
espectròmetre de masses
selector de velocitats + camp magnètic +
plaques fotogràfiques
es pot mesurar amb un VNA (vector network analyser)
representació: carta de Smith
Z = R + j X
resistència (part real): R
reactància (part imaginària):
X>0: inductància X_{L}
X<0: capacitància X_{C}
Lleis de Kirchhoff
...
Primera
llei
La suma algebraica dels corrents
que arriben a un nus és igual a la
suma algebraica dels corrents que surten del nus. \sum{I} = 0
I_1 - I_2 + I_3 = 0
Segona
llei
En tota malla o circuit tancat,
la suma algebraica de totes les fem
és igual a la suma algebraica de les caigudes de
tensió. \sum{\varepsilon} =
\sum{R} · I
P(t) = R I_0^2
\sin^2{\omega t} potència mitjana
(calculada a partir del treball en un període T): \left. \begin{array}{r} \left.
\begin{array}{r} W = \int_0^T P(t) dt = \int_0^T R
I_0^2 \sin^2{\omega t} dt = \left[ R I_0^2 \left(
\frac{t}{2} - \frac{1}{4\omega} \sin{2\omega t}
\right) \right]_0^T = \frac{1}{2} R I_0^2 T \\ P_m =
\frac{W}{T} \end{array} \right\} \boxed{P_m =
\frac{1}{2} R I_0^2} \\ I_e = \frac{I_0}{\sqrt{2}}
\end{array} \right\} P_m = R I_e^2 (ens
permet calcular el valor
eficaç)
real, mesurada pels comptadors
(? potència real: component real d'I per V)
necessària per a crear camps magnètics,
però no produeix treball útil;
cal minimitzar-la perquè perjudica la transmissió
d'energia a les línies de distribució
(? potència imaginària: component imaginària d'I per
V)
es transmet a les línies per
fer-la arribar als consumidors
\mathcal{E}_f = K 4,44
N_s f \Phi \quad\text{[V]}n_s
= \frac{60f}{p}
\mathcal{E}_f: FEM eficaç
generada en cada fase
K: coeficient de l'enrotllament induït
Ns: nombre d'espires sèrie per fase
\Phi: flux per pol en Wb
f: freqüència en Hz
n_s: freqüència síncrona de
rotació en min-1
p: nombre de parells de pols de l'induït
f: freqüència de la FEM induïda en Hz
quan treballa amb càrrega, el pas del corrent
provoca una
caiguda de tensió, degut a la resistència i a la
inductància:\vec{V}_f =
\vec{\mathcal{E}}_f - \vec{R}_f\vec{I}_f -
\vec{X}_f\vec{I}f
velocitat del rotor (nr) inferior a
la de sincronisme (ns)
(perquè si fos la mateixa no hi hauria canvi de
flux
i per tant no hi hauria FEM induïda) n_s = \frac{f}{p} \quad
\text{[s}^{-1}\text{]} on:
f: freqüència de la xarxa d'alimentació
p: parells de pols de l'estator
velocitat del rotor (de lliscament):
n_r = n_s - n lliscament relatiu: s = \frac{n_r}{n_s}
velocitat inferior a la de sincronisme
velocitat de sincronisme:
n_s = \frac{f}{p} \quad \text{[s}^{-1}\text{]}
on:
f: freqüència de la xarxa d'alimentació
p: parells de pols de l'estator
estabilitat
un motor és estable quan:
en augmentar la velocitat, respon amb una
reducció del parell motor
que estableix l'equilibri.
En cas contrari, el motor s'embalarà.
en reduir la velocitat, respon amb un
augment del parell motor.
En cas contrari, el motor anirà perdent força
i s'aturarà.
ha de ser més gran que el parell motor nominal,
ja que a més de
vèncer el parell resistent (\Gamma_r),
ha d'accelerar el motor fins
a la velocitat nominal (veǹcer el moment intern
del motor \Gamma_i):
\Gamma_a = K\Phi_a I_a
\Gamma_a = \Gamma_r + \Gamma_i
per a trobar l'equació del moviment,
fem servir l'equació d'Euler-Lagrange: \frac{d}{dt}\left(
\frac{\partial\left(\frac{1}{2}m\dot{x}^2
-\frac{1}{2}k{x}^2\right)}{\partial \dot{x}}
\right) =
\frac{\partial\left(\frac{1}{2}m\dot{x}^2
-\frac{1}{2}k{x}^2\right)}{\partial x} i
trobem:m\ddot{x} = -kxque
és el mateix que la segona
llei de Newton: m\vec{a}
= \sum{\vec{F}}
|\uparrow\rangle (spin up) i |\downarrow\rangle
(spin down) són dos vectors ortogonals d'un espai
abstracte (Hilbert).
Per tant el seu inner product és zero:
\langle\downarrow|\uparrow\rangle = 0
cap a l'eix | \uparrow \rangle
amb probabilitat \left( \frac{\sqrt{3}}{2}
\right) ^2 = \frac{3}{4}
cap a l'eix | \downarrow \rangle
amb probabilitat \left( \frac{1}{2}
\right) ^2 = \frac{1}{4}
gauge: redundància en la descripció matemàtica (ex:
rotació del penell i de la seva base)
càrrega
un altre camp compensa els canvis que trenquen la
simetria en el primer camp,
per a aconseguir una simetria gauge. Per exemple: camp
dels electrons i camp dels fotons (QED)
H1, H2, H3: aporten la component longitudinal
dels bosons Z, W+, W- i fan que tinguin massa
bosó de gauge
1
camp vectorial
camp de fotons
mediadors de la interacció feble
camps W+. W-, Z
mediadors de la interacció forta
gluons
Components de camps vectorials quàntics
força
transversal (-1)
transversal (1)
longitudinal (0)
(la component del camp de Higgs proporciona la massa)
electromagnètica
fotó
γ
W3
B
-
no té massa
feble
bosó
Z
W3
B
H1
W+
W1
W2
H2
W-
W1
W2
H3
...
http://www.francescpinyol.cat/fisica.html
Primera versió: / First version: 2022
Darrera modificació: 22 de febrer de 2023 / Last update: 22nd
February 2023